Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni
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*<math><x,y>=\frac{1}{4}\left[||x+y||^2-||x-y||^2+i\left(||x+iy||^2-||x-iy||^2\right)\right]</math>
ha le proprietà del prodotto scalare.
==Teoremi==
Consideriamo ora la funzione lineare che associa per un <math>y\in X</math> fissato ad ogni <math>x\in X</math> il numero complesso <math>(x,y)</math>
;Teorema:Per ogni <math>y\in X</math>, l'applicazione:
:*<math>x\longrightarrow <x,y></math> è lineare e continua.
Inoltre anche <math>x\longrightarrow ||x||</math> è continua.
;Definizione: Se <math><x,y>=0</math> diciamo che x ed y sono '''ortogonali''' e scriviamo che <math>x\bot y</math>, la relazione di ortogonalità è simmetrica.
*Definiamo
::<math>x^{\bot{}}:=\left\{y\in X: y\bot x \right\}</math>
*Se <math>M\subset X</math> è un sottospazio di <math>X\!</math> definiamo
::<math>M^{\bot{}}=\left\{y\in X: y\bot x\quad\forall x\in M\right\}</math>
*Uno spazio di Hilbert si dice '''chiuso''' se le successioni convergenti di elementi del sottospazio convergono ad elementi del sosttospazio.In altre parole:
::Se <math>\lim_{n\to\infty} x_n=\bar{x}</math> e <math>x_n\in M</math> implica che <math>\bar{x}\in M</math> allora M si dice chiuso.
;Teorema:Se M è un sottospazio di Hilbert H allora <math>M^{\bot{}}</math> è un sottospazio chiuso di H.
Si dimostrano una serie di importanti teoremi che riguardano i sottspazi di Hilbert:
;Teorema 2.5.8:
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