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*<math><x,y>=\frac{1}{4}\left[||x+y||^2-||x-y||^2+i\left(||x+iy||^2-||x-iy||^2\right)\right]</math>
ha le proprietà del prodotto scalare.
==Gli spazi <math>l_p</math>==
L'identità del parallelogramma è uno strumento potente che consente di affermare se un dato spazio è di Hilbert o meno. Per fare un esempio di come si utilizza tale uguaglianza verrà preso in esame un esempio classico per gli studenti di matematica,
ma prima è necessario introdurre un nuovo concetto:
;Definizione
:Indicheremo con <math>l_p</math> l'insieme delle successioni '''p-sommabili''', formalmente
::<math>l_p:=\{\tilde {x}=\{\xi_j\}_{j\in \mathbb{N}} | \sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p <+\infty\}</math>
In pratica, fissato numero naturale ''p'', <math>l_p</math> è costituito da tutte quelle successioni i cui termini, in valore assoluto e elevati alla p-esima, costituiscono una serie convergente. Su uno spazio siffatto la norma è definita come:
*<math>||x||_p:=(\sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p)^{\frac{1}{p}}</math>
L'obiettivo è capire per quali valori <math>p\in\mathbb{N}, l_p</math> è uno spazio di Hilbert e perciò verrà utilizzata l'uguaglianza del parallelogramma. Allo scopo, si prendano le seguenti successioni:
:<math>\tilde{x}:=(1,1,0,...)</math>
:<math>\tilde{y}:=(1,-1,0,...)</math>
È chiaro che sia <math>\tilde{x}</math> che <math>\tilde{y}</math> appartengono a <math>l_p\quad\forall p \in \mathbb{N}\setminus{\{0\}}</math>.
Al fine di rendere più semplice la spiegazione, verranno eseguite le espansioni di ciascun termine che interviene nell'uguaglianza del parallelogramma:
*<math>||\tilde{x}||_p^2 = (2^{\frac{1}{p}})^2=2^{\frac{2}{p}}</math>
*<math>||\tilde{y}||_p^2 = (2^{\frac{1}{p}})^2=2^{\frac{2}{p}}</math>
*<math>||\tilde{x}+\tilde{y}||_p^2=((2^p)^{1/p})^2=2^2=4</math>
*<math>||\tilde{x}-\tilde{y}||_p^2=((2^p)^{1/p})^2=2^2=4</math>
Pertanto:
:<math> 8=||\tilde{x}+\tilde{y}||_p^2+||\tilde{x}-\tilde{y}||_p^2=2(||\tilde{x}||_p^2+||\tilde{y}||_p^2)=2(2^\frac{2}{p}+2^\frac{2}{p})</math>
L'uguaglianza sussiste se e solo se:
:<math>2(2^\frac{2}{p}+2^\frac{2}{p})=8\iff 2^{\frac{2+p}{p}}+2^{\frac{2+p}{p}}=8\iff 2^{\frac{2-p}{p}}=1</math>
Risolvendo l'equazione in ''p'', si ottiene che <math>2-p=0</math> e quindi <math>p=2</math>.
Ciò significa che gli spazi <math>l_p</math>, con <math>p\neq 2</math> non sono spazi di Hilbert, mentre <math>l_2</math> lo è. Da questo esempio si ottiene un'ulteriore informazione fondamentale. È possibile dimostrare che gli spazi <math>l_p\quad \forall p\in\mathbb{N}</math> sono di Banach, mentre abbiamo visto che non sono spazi di Hilbert eccetto per <math>p=2</math>, da ciò si evince che gli spazi di Hilbert sono una classe propria degli spazi di Banach.
[[Categoria:Analisi complessa|Prodotto scalare e spazi di Hilbert]]
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