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Analisi complessa/Misura di Lebesgue: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale più sofisticata, ed in grado di integrare una classe più ampia di funzioni, è la definizione di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.
 
:Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale piu' sofisticata,
ed in grado di integrare una classe piu' ampia di funzioni, e' la definizione
di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.
 
Indichiamo con il simbolo <math> \emptyset</math> l'insieme vuoto.
 
Se <math>A</math> e <math>B</math> sono due insiemi, definiamo:
sono due insiemi, definiamo:
 
*l' '''unione''' dei due insiemi,
:*:<math>A \cup B=\{ x:x \in A \vee x \in B\} </math>
*l' '''intersezione''',
:*:<math>A \cap B=\{ x:x \in A \wedge x \in B\} </math>
*la '''differenza''',
:*:<math>A\setminus B=\{ x:x\in A\wedge x\notin B\} </math>
 
.
;Definizione 4.2.1.:Due insiemi si dicono '''disgiunti ''' se
::<math>A \cap B=\emptyset</math>.
 
*Una famiglia di insiemi :<math>R</math> si dice '''anello''' se presi due insiemi <math>A,B \in R</math>, implica che:
:#<math>A, \cup B \in R</math>, implica(chiusura rispetto all'unione) che:
:#<math>A \cupsetminus B \in R</math> (chiusura rispetto all'unione)alla differenza).
:#<math>A\setminus B \in R</math> (chiusura rispetto alla differenza).▼
 
:La proprietà 2. ne implica una terza:<br></br>
::3.<math>A \cap B \in R</math>, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
:::<math>A \cap B=A\setminus(A\setminus B)</math>.
 
*<math>R</math> si chiama <math>\sigma</math>-anello se l'unione di un insieme numerabile di elementi di <math>R</math> è ancora un elemento di <math>R</math>, cioè se <math>A_n \in R</math> implica
▲:#<math>A\setminus B\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in R</math> (chiusura rispetto allaall'unione differenzanumerabile).
:è ancora un elemento di <math>R</math>, cioè se
:<math>A_n \in R</math> implica
::<math> \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in R</math> (chiusura rispetto all'unione numerabile)
 
*seSe <math>R</math> è un <math>\sigma</math>-anello, anche l'intersezione di una collezione numerabile di elementi di <math>R</math> è ancora un elemento dell'anello,
:<math>R</math> è ancora un elemento dell'anello,
::<math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_1-A_n)\in R </math> (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
 
;Definizione.
 
;Definizione.: Una funzione
::<math>\phi : R \rightarrow \R \cup\{ +\infty,-\infty\} </math>
:si dice funzione di insiemi
:*'''additiva''' se
:*:<math>A,B \in R\quad A\cap B= \emptyset \Rightarrow \phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B) </math>
:*'''numerabilmente additiva''' se:▼
:*:<math>A_i \in R; i\neq j \Rightarrow A_i \cap A_j =\emptyset\quad\Rightarrow\quad\phi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)</math>▼
 
Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia <math>+\infty</math> che <math>-\infty</math>, e quelle per cui <math>\forall A\in R: \phi(A)= \pm \infty</math>.▼
▲*'''numerabilmente additiva''' se:
▲::<math>A_i \in R; i\neq j \Rightarrow A_i \cap A_j =\emptyset\quad\Rightarrow\quad\phi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)</math>
 
▲Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia <math>+\infty</math> che <math>-\infty</math>, e quelle per cui <math>\forall A\in R: \phi(A)= \pm \infty</math>
.
 
Se una funzione di insiemi <math>\phi</math> soddisfa le condizioni enunciate qui sopra, allora valgono le seguenti
proprietà:
 
#La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)</math> converge assolutamente;
#<math>\phi (\emptyset)=0</math>;
Line 63 ⟶ 51:
 
==Costruzione della misura di Lebesgue==
;Definizione 4.2.3.
 
;Definizione 4.2.3.:Definiamo un intervallo in <math>\R^{p}</math> l'insieme dei punti
::<math> \mathbf{x} \in \R^{p}=(x_1 , x_2 , \ldots,x_p )</math>
:tali che
::<math>a_i < x_i < b_i \quad i=1, \ldots , p</math>
:sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni <math><</math> segni sostituiti da <math>\leq</math>; non si esclude il caso in cui per qualche <math>j</math> si abbia <math>a_j=b_j</math>, e l'insieme vuoto è un intervallo.
<math><</math> segni sostituiti da <math>\leq</math>; non si esclude il caso in cui per qualche <math>j</math>
si abbia <math>a_j=b_j</math>, e l'insieme vuoto è un intervallo.
 
;Definizione.:Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice insieme '''elementare'''.
insieme '''elementare'''.
 
Definiamo la funzione di insiemi
::<math>m(I)=\prod_{i=1}^{p}(b_i-a_i)</math>
e se <math>A=\bigcup_{n=1}^{N} I_n</math> è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo
::<math>m(A)=\sum_{n=1}^{N}m(I_n)</math>.▼
è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo
 
▲::<math>m(A)=\sum_{n=1}^{N}m(I_n)</math>
.
==Teorema==
Indichiamo con <math>\mathcal{E}</math> la famiglia dei sottoinsiemi elementari di <math>\R</math>.
.
#<math>\mathcal{E}</math> è un anello, ma non un <math>\sigma</math>-anello
#<math>\forall A \in \mathcal{E}</math>, è possibile scrivere <math>A</math> come l'unione di un numero finito di intervalli '''disgiunti'''
Line 89 ⟶ 72:
#<math>m</math> e' additiva su <math>\mathcal{E}</math>.
 
;Definizione 4.2.5
;Definizione 4.2.5:Una funzione di insiemi additiva e non negativa <math>\psi</math> definita su <math>\mathcal{E}</math> si dice '''regolare''' se per ogni <math>A \in \mathcal{E}</math> e <math> \varepsilon > 0</math> esistono <math>F,G \in \mathcal{E}</math>, con <math>F</math> chiuso e <math>G</math> aperto, tali che
:*:<math>F \subseteq A\subseteq G</math>
:e
:*:<math>\psi (G) - \epsilon \leq \psi (A) \leq \psi (F) + \epsilon.</math>
:Ad esempio, <math>m</math> è regolare.▼
 
Sia ora <math>\mu</math> additiva, non negativa, regolare e finita su <math>\mathcal{E}</math>. Ricopriamo un insieme <math>B \subseteq \R^{p}</math> con un infinità numerabile di insiemi aperti elementari <math>A_n</math>, ▼
:<math>B \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n</math>.▼
 
▲Ad esempio, <math>m</math> è regolare.
 
Sia ora <math>\mu</math> additiva, non negativa, regolare e finita su <math>\mathcal{E}</math>.
▲Ricopriamo un insieme <math>B \subseteq \R^{p}</math> con un infinità numerabile di insiemi aperti elementari <math>A_n</math>,
▲:<math>B \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n</math>
.
Definiamo la '''misura esterna''' di <math>B</math> corrispondente a <math>\mu</math>
::<math>\mu^{\star}(B)=\inf\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)</math>
dove l'<math>\inf</math> è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di <math>B</math>.
 
*Evidentemente <math>\mu^{\star}(B)\geq 0</math>, e se <math>B_1 \subseteq B_2</math>, allora <math>\mu^{\star}(B_1) \leq \mu^{\star}(B_2)</math>.▼
Evidentemente
*<math>\mu^{\star}(B)\geq 0</math>, ▼
e se
▲*<math>B_1 \subseteq B_2</math>, <math>\mu^{\star}(B_1) \leq \mu^{\star}(B_2)</math>
.
 
;TEOREMA 4.2.6.
:Per ogni <math>A \in \mathcal{E}</math>,
::<math>\mu^{\star}(A)=\mu(A)</math>
:e se
::<math>B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n</math> allora <math>\mu^{\star}(B)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{\star}(B)</math>
 
;Definizione:Definiamo la '''differenza simmetrica''' tra due insiemi <math>A</math> e <math>B</math>▼
;Definizione
come
▲;Definizione:Definiamo la '''differenza simmetrica''' tra due insiemi <math>A</math> e <math>B</math> come
:<math> S(A,B)=(A\setminus{B}) \cup (B\setminus{A})</math>
e, se ::<math> S(A,B)=(A\setminus{B}) \subseteqcup (B\R^setminus{pA})</math>
*:e, se <math>d( A,B)= \musubseteq \R^{\starp}(S(A,B))</math>.
▲*::<math>d(A,B)=\mu^{\star}(S(A,B)\geq 0)</math>, .
La funzione <math>d(A,B)</math> è '''quasi''' una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà :
 
#<math>d(A,B)=d(B,A)\!</math>
#<math>d(A,A)=0\!</math>
#<math>d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)\!</math>
ma nonNon è vero tuttavia che <math>d(A,B)=0\Rightarrow A=B</math>. A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme ▼
delle '''classi di equivalenza''' dei sottoinsiemi di <math>\R^{p}</math> rispetto alla relazione di equivalenza <math>d(A,B)=0\!</math>.▼
 
▲ma non è vero che <math>d(A,B)=0\Rightarrow A=B</math>.A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme
▲delle '''classi di equivalenza''' dei sottoinsiemi di <math>\R^{p}</math> rispetto alla relazione di equivalenza <math>d(A,B)=0\!</math>
.
A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno
*spazio metrico. Diremo che <math>A_n \rightarrow A</math>(la sucessione di insiemi <math>A_n</math> converge all'insieme A) se <math>\lim_{n\rightarrow\infty}d(A,A_n)=0</math>.▼
spazio metrico.
 
 
▲*Diremo che <math>A_n \rightarrow A</math>(la sucessione di insiemi <math>A_n</math> converge all'insieme A) se <math>\lim_{n\rightarrow\infty}d(A,A_n)=0</math>.
 
*Se esiste una successione <math>\left\{A_n\right\} \subseteq\mathcal{E}</math> di insiemi elementari tale che <math>A_n \rightarrow A</math> diremo che <math>A</math> è '''finitamente <math>\mu</math>-misurabile''', e scriveremo
:<math>A \in \mathcal{M}_F(\mu)</math>
.
 
Se <math>A</math> è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente <math>\mu</math>-misurabili, diremo che è <math>\mu</math>-misurabile, e scriveremo <math>A \in \mathcal{M}(\mu)</math>.
 
;Teorema
;Teorema:<math>\mathcal{M}(\mu)</math> è un <math>\sigma</math>-anello, e <math>\mu^{\star}</math> è numerabilmente additiva su <math>\mathcal{M}(\mu)</math>.
<br></br>
:In altri termini, <math>\mathcal{M}_F (\mu)</math> è il completamento di <math>\mathcal{E}</math>, e <math>\mathcal{M}(\mu)</math> estende <math>\mathcal{M}_F (\mu)</math> rendendolo un <math>\sigma</math>-anello.
estende <math>\mathcal{M}_F (\mu)</math> rendendolo un <math>\sigma</math>-anello.
 
In maniera analoga <math>\mu^{\star}</math> estende la funzione <math>\mu</math> (definita solo su <math>\mathcal{E}</math>) dandole un senso anche in <math>\mathcal{M}(\mu)</math>, nel quale è numerabilmente additiva. Una funzione di questo tipo si dice '''misura''', e se <math>\mu=m</math> si dice '''misura di Lebesgue'''.
Una funzione di questo tipo si dice '''misura''', e se <math>\mu=m</math> si dice '''misura di Lebesgue'''
.
 
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