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Analisi complessa/Integrale di Lebesgue: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Spazio di Misura==
;Definizione 4.5.1.:Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in <math>\R^{p}</math>, ma in realtà le questioni fondamentali riguardano la struttura di un <math>\sigma</math>-anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme. Un insieme <math>X</math> si dice '''spazio di misura''' se esiste un <math>\sigma</math>-anello <math>\mathcal{M}</math> di sottoinsiemi di <math>X</math>
(che si dicono '''misurabili'''), ed una funzione di insiemi <math>\mu</math> non negativa e numerabilmente additiva, detta '''misura''' , definita su <math>\mathcal{M}</math> .
 
Se <math>X \in \mathcal{M}</math>, <math>X</math> si dice '''spazio misurabile'''.
'''Definizione 4.5.1. '''
 
Sia <math>f</math> una funzione definita su uno spazio misurabile <math>X</math>, a valori in
Le nozioni fin qui introdotte sono state trattate in
<math>\R^ \cup \left\{p +\infty,-\infty \right\} </math>.
La funzione <math>f</math> si dice '''misurabile''' se l'insieme
, ma in realta' le questioni fondamentali
riguardano la struttura di un :<math>\sigmaleft\{ x:f(x)>a\right\}</math>
è misurabile per ogni <math>a \in \R</math>.
-anello e la presenza di una funzione numerabilmente additiva definita su tale insieme.
Un insieme <math>X</math>
si dice ''spazio di misura''
se esiste un <math>\sigma</math>
-anello <math>\mathcal{M}</math>
di sottoinsiemi di <math>X</math>
(che si dicono ''misurabili''
), ed una funzione di insiemi
<math>\mu</math>
non negativa e numerabilmente additiva, detta ''misura'' , definita su
<math>\mathcal{M}</math> .
 
Se
<math>X \in \mathcal{M}</math>
,
<math>X</math>
si dice ''spazio misurabile''.
 
Sia
<math>f</math>
una funzione definita su uno spazio misurabile
<math>X</math>, a valori in
<math>\R \cup { +\infty,-\infty } </math>
.
La funzione <math>f</math>
si dice ''misurabile''
se l'insieme <center><math>{ x:f(x)>a}</math></center> e' misurabile per ogni <math>a \in \R</math>.
 
 
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
 
:(1)#<math>\left\{ x:f(x) > a\right\} </math> e'è misurabile per ogni <math>a \in \R</math>
:(2)#<math>\left\{ x:f(x) \geq a\right\}</math> è misurabile per ogni <math>a \in \R</math>
e'#<math>\left\{ x:f(x) < a\right\}</math> è misurabile per ogni <math>a \in \R</math>
:(3)#<math>\left\{ x:f(x) <\leq a\right\} </math> e'è misurabile per ogni <math>a \in \R</math>
:(4)<math>{ x:f(x) \leq a} </math>
e' misurabile per ogni <math>a \in \R</math>
 
''';TEOREMA 4.3.3.''':
*Se <math>f</math> è misurabile, anche <math>|f|</math> è misurabile;
*Se <math>\left\{ f_n \right\}</math> è una successione di funzioni misurabili allora
::<math>g(x)=\sup f_n (x) \qquad h(x)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n (x)</math>
:sono misurabili.
*Se <math>f</math> e <math>g</math> sono misurabili, allora
:#<math>g+f\!</math>
:#<math>gf\!</math>
:#<math>\max(f,g)\!</math>
:#<math>\min(f,g)\!</math>
:sono misurabili.
*In particolare sono misurabili
:<math>f^{+}=\max(f,0) \qquad f^{-}=-\min(f,0)</math>
 
==Funzione caratteristica==
Se <math>f</math> e' misurabile, anche
;Definizione:Sia <math>s</math> una funzione definita su <math>X</math> a valori reali.
<math>|f|</math> e' misurabile; se
Se l'immagine di <math>s</math> è finita, diremo che <math>f</math>
<math> { f_n }</math> e' una successione di funzioni misurabili e
è una '''funzione semplice'''. In particolare è semplice la '''funzione caratteristica''' di un sottoinsieme
<center><math>
<math>E \subseteq X</math> ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo elemento appartiene ad E , 0 in caso contrario, cioè:
g(x)=\sup f_n (x) \qquad h(x)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f_n (x)
:<math> \chi _{E}(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{se }x\in E \\ 0, & \mbox{se }x\notin E\end{matrix}\right.</math>
</math></center>
anche <math>g</math> e <math>h</math> sono misurabili; se <math>f</math>
e <math>g</math> sono misurabili, anche
<math>g+f</math> , <math>gf</math>
, <math>\max(f,g)</math>e <math>\min(f,g)</math>sono misurabili, in particolare sono misurabili <center><math>
f^{+}=\max(f,0) \qquad f^{-}=-\min(f,0)</math></center>
 
Se l'immagine di <math>s</math> è costituita dai valori distinti
'''Definizione '''
<math>\left\{ c_{i}\right\} _{i=1}^{N}</math>, e <math>E_{i}=\left\{ x:s(x)=c_{i}\right\} </math>, allora
:<math>s=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}
</math>
e <math>s</math> è misurabile se e solo se tutti gli insiemi <math>E_i</math> lo sono.
 
==Teorema==
:Sia <math>s</math> una funzione definita su
Ogni funzione può essere approssimata con funzioni semplici: sia <math>f:X \rightarrow R</math>, allora esiste una successione
<math>X</math> a valori reali.
<math> \left\{ s_{n} \right\}</math> di funzioni semplici tali che
Se l'immagine di <math>s</math>
e' finita, diremo che :<math>s_{n}(x) \rightarrow f(x)</math>
puntualmente per <math>n \rightarrow \infty</math>.
e' una ''funzione semplice''.
In particolare e' semplice la ''funzione caratteristica'' di un sottoinsieme
<math>E \subseteq X</math> ,costruita in modo tale da essere uguale a 1 quando un suo
elemento appartiene ad E , 0 in caso contrario.
Se l'immagine di <math>s</math>
e' costituita dai valori distinti
<math>{ c_{i}} _{i=1}^{N}</math>, e <math>E_{i}={ x:s(x)=c_{i}} </math>, allora
<math>s=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}
</math> e <math>s</math>
e' misurabile se e solo se tutti gli insiemi
<math>E_{i}</math> lo sono.
 
Ogni*Se funzione<math>f</math> puo'è esseremisurabile, approssimatasi conpuò scegliere una successione di funzioni semplici: siamisurabili,
*se è anche non negativa <math>\left\{ s_{n} \right\} </math> si può scegliere monotona crescente.
<math>f:X \rightarrow R</math>
*Se <math>f</math> è limitata, la convergenza è uniforme.
, allora esiste una successione
<math> { s_{n} }</math>
di funzioni semplici tali che
<math>s_{n}(x) \rightarrow f(x)</math>
puntualmente per
<math>n \rightarrow \infty</math>.
 
;Definizione:Sia <math>f</math> una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile <math>X</math> con misura <math>\mu</math>, e <math>S</math> l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su <math>X</math>,
Se
:<math>fs=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}</math>,
tali che <math>0\leq s\leq f</math>. Sia inoltre <math>X \supseteq E \in \mathcal{M}</math>.
e' misurabile, si puo' scegliere una successione di funzioni semplici misurabili,
e se e' anche non negativa
<math>{ s_{n} } </math>
si puo' scegliere monotona crescente.
Se
<math>f</math>
e' limitata, la convergenza e' uniforme.
 
Sia
<math>f</math>
una funzione misurabile e non negativa definita sullo spazio misurabile
<math>X</math>
con misura
<math>\mu</math>
, e
<math>S</math>
l'insieme di tutte le funzioni semplici misurabili su
<math>X</math>
,
<math>s=\sum_{i=1}^{N}c_{i}\chi_{E_{i}}</math>
, tali che
<math>0\leq s\leq f</math>
.
 
Sia poi
<math>X \supseteq E \in \mathcal{M}</math>
.
Definiamo
:<math>I_{E}(s) = \sum_{i=1}^{N} c_{i} \mu (E \cap E_{i})</math>
<math>
I_{E}(s) = \sum_{i=1}^{N} c_{i} \mu (E \cap E_{i})
</math>
allora
:<math>\int_{E} f d\mu=\sup_ {s \in S} I_{E}(S)</math>
<math>
<math>s</math> si dice '''integrale di Lebesgue''' di <math>f</math>, rispetto alla misura <math>\mu</math>, sull'insieme
\int_{E} f d\mu=\sup_ {s \in S} I_{E}(S)
<math>s</math>
si dice
'''integrale di Lebesgue''' di
<math>f</math>
, rispetto alla misura
<math>\mu</math>
, sull'insieme
<math>E</math>
.
 
L'integrale puo'può valere anche <math>+\infty</math>
<math>+\infty</math>
.
 
Chiaramente, per ogni funzione semplice misurabile non negativa
<math>\int_{E}s d\mu=I_{E}(S)</math>.
non negativa
<math>
\int_{E}s d\mu=I_{E}(S)
</math>.
 
==Definizione dell'integrale secondo Lebesgue==
La definizione si estende al caso di funzioni misurabili: diciamo che <math> f </math>
misurabile è '''integrabile secondo Lebesgue''' su <math> E </math>, rispetto alla misura <math> \mu </math>
misurabili: diciamo che
, e scriveremo <math> f \in L(\mu)</math>su <math>E</math>, se
:<math>\int_{E}f^{+}d\mu <\infty \qquad \int_{E}f^{-}d\mu< \infty</math>
misurabile e'
''integrabile secondo Lebesgue'' su
<math> E </math>
, rispetto alla misura
<math> \mu </math>
, e scriveremo
<math>f \in L(\mu)</math>
su <math>E</math>
, se <math>\int_{E}f^{+}d\mu <\infty \qquad \int_{E}f^{-}d\mu< \infty
</math>
e definiamo
:<math>\int_{E}f d\mu=\int_{E}f^{+}d\mu-\int_{E}f^{-}d\mu\!</math>.
</math>.
 
L'integrale cosi'così definito gode delle seguenti proprietà:
proprieta':
 
:(1) Se <math> f </math> e' misurabile e limitata su
<math>E</math> , e se <math>\mu(E)<\infty</math>
, allora <math>f\in L(\mu)</math> su <math>E</math>.
 
:(2)Se <math>a \leq f \leq b</math>
su <math>E</math> , e se <math>\mu(E)<\infty</math>
, allora <center><math> a \mu(E) \leq \int_{E}f d\mu \leq b\mu(E)
</math></center>
 
:(3)Se
<math>f,g \in L(\mu)</math>
su <math>E</math>
, e se <math>f \leq g</math>
in <math>E</math> , allora <center><math>
\int_{E}f d\mu \leq \int_{E}g d\mu
</math></center>
 
:(4) Se <math>f \in L(\mu)</math> su
<math>E</math> , allora <math>cf\in L(\mu)</math>
su <math>E</math> per ogni costante finita
<math>c</math> , e
<center><math>
\int_{E}cf d\mu=c\int_{E}f d\mu
</math></center>
 
:(5)Se <math>\mu(E)=0</math>
e <math>f</math> e' misurabile, allora
<center><math> \int_{E}f d\mu=0
</math></center>
 
:# Se <math> f </math> e' misurabile e limitata su <math>E</math> , e se <math>\mu(E)<\infty</math>, allora <math>f\in L(\mu)</math> su <math>E</math>.
:(6)Se <math>f\in L(\mu)</math>
:#Se <math>a \leq f \leq b</math> su <math>E</math> , e se <math>A\mu(E)<\infty</math>, allora <math> a \subseteqmu(E) \leq \int_{E}f d\mu \leq b\mu(E)</math>
:#Se <math>f,g \in L(\mu)</math> su <math>E</math>, e se <math>f \leq g</math> in <math>E</math> , allora <math>
e' misurabile, allora <math>f\in L(\mu)</math>
su\int_{E}f <math>Ad\mu \leq \int_{E}g d\mu</math> .
:#Se <math>f \in L(\mu)</math> su <math>E</math> , allora <math>cf\in L(\mu)</math> su <math>E</math> per ogni costante finita <math>c</math> , e <math>\int_{E}cf d\mu=c\int_{E}f d\mu</math>
:#Se <math>\mu(E)=0</math> e <math>f</math> è misurabile, allora <math> \int_{E}f d\mu=0</math>
:#Se <math>f\in L(\mu)</math> su <math>E</math> , <math>A \subseteq E</math> è misurabile, allora <math>f\in L(\mu)</math> su <math>A</math> .
 
'''Teorema 4.3.8.'''
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[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Lebesgue]]
{{Avanzamento|25%|22 febbraio 2009}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Integrale_di_Lebesgue"