Analisi complessa/Misura di Lebesgue: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
:Il primo passo per la costruzione di una versione di integrale piu' sofisticata,
ed in grado di integrare una classe piu' ampia di funzioni, e' la definizione
di funzioni che permettano di assegnare un misura agli insiemi.
Indichiamo con il simbolo <math> \emptyset</math> l'insieme vuoto.
Se <math>A</math> e <math>B</math>
sono due insiemi, definiamo:
::<math>A \cup B=\{ x:x \in A \vee x \in B\} </math>
*l' '''intersezione''',
::<math>A \cap B=\{ x:x \in A \wedge x \in B\} </math>
::<math>A\setminus B=\{ x:x\in A\wedge x\notin B\} </math>
.
;Definizione 4.2.1.:Due insiemi si dicono '''disgiunti ''' se
::<math>A \cap B=\emptyset</math>.
*Una famiglia di insiemi :<math>R</math> si dice '''anello''' se presi due insiemi
:<math>A,B \in R</math>, implica che:
:#<math>A \cup B \in R</math> (chiusura rispetto all'unione)
:#<math>A
:La proprietà 2. ne implica una terza:<br></br>
::3.<math>A \cap B \in R</math>, infatti è possibile riscrivere l'intersezione dei due insiemi come:
:::<math>A \cap B=A
*<math>R</math> si chiama <math>\sigma</math>
:
:<math>A_n \in R</math> implica
::<math> \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in R</math> (chiusura rispetto all'unione numerabile) *se <math>R</math>
:<math>R</math>
::<math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\setminus\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_1-A_n)\in R </math> (chiusura rispetto all'intersezione numerabile)
::<math>\phi : R \rightarrow \R \cup\{ +\infty,-\infty\} </math>
si dice funzione di insiemi *'''additiva''' se ::<math>A,B \in R\quad A\cap B= \emptyset \Rightarrow \phi (A \cup B)=\phi (A)+\phi (B) </math>
*'''numerabilmente additiva''' se:
::<math>A_i \in R; i\neq j \Rightarrow A_i \cap A_j =\emptyset\quad\Rightarrow\quad\phi\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_i\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)</math>
Per evitare ambiguità escluderemo le funzioni la cui immagine contiene sia <math>+\infty</math> che <math>-\infty</math>, e quelle per cui <math>\forall A\in R: \phi(A)= \pm \infty</math>
.
proprietà:
#La serie <math>\sum_{n=1}^{\infty} \phi(A_n)</math> converge assolutamente;
#<math>\phi (\emptyset)=0</math>;
#<math>\phi\left(\bigcup_{n=1}^{N}A_i\right)=\sum_{n=1}^{N}\phi(A_n)</math> se <math>i \neq j \Rightarrow A_i \cap A_j=\emptyset</math>
#Se <math>\forall A \in R: \phi(A)\ge0</math> e <math>A \subseteq B</math> allora <math>\phi(A)\leq \phi(B)</math>.
#Se <math>A\subseteq B</math> e <math>|\phi(A)|<\infty</math>, <math>\phi(B\setminus A)=\phi(B)-\phi(A)</math>
#Se <math>A_n \in R</math> e <math>A_n \subseteq A_{n+1}</math> e <math>A_n \subseteq A</math> con <math>A \in R</math>
::<math>A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\phi(A_n)= \phi(A)</math>
==Costruzione della misura di Lebesgue==
;Definizione 4.2.3.:Definiamo un intervallo in <math>\R^{p}</math> l'insieme dei punti
::<math> \mathbf{x} \in \R^{p}=(x_1 , x_2 , \ldots,x_p )</math>
:tali che
::<math>a_i < x_i < b_i \quad i=1, \ldots , p</math>
sia che le disuguaglianze siano prese in senso stretto o con alcuni
<math><</math> segni sostituiti da <math>\leq</math>; non si esclude il caso in cui per qualche <math>j</math>
si abbia <math>a_j=b_j</math>, e l'insieme vuoto è un intervallo.
;Definizione.:Un insieme costituito da un numero finito di intervalli si dice
insieme '''elementare'''.
Definiamo la funzione di insiemi
::<math>m(I)=\prod_{i=1}^{p}(b_i-a_i)</math>
è l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti, poniamo
::<math>m(A)=\sum_{n=1}^{N}m(I_n)</math>
.
==Teorema==
Indichiamo con <math>\mathcal{E}</math> la famiglia dei sottoinsiemi elementari di <math>\R</math>
.
#<math>\mathcal{E}</math> è un anello, ma non un <math>\sigma</math>-anello
#<math>\forall A \in \mathcal{E}</math>, è possibile scrivere <math>A</math> come l'unione di un numero finito di intervalli '''disgiunti'''
#<math>m(A)</math> definita dalla equazione soprastante non dipende dalla scelta di intervalli disgiunti che compongono <math>A</math>
#<math>
;Definizione 4.2.5:Una funzione di insiemi additiva e non negativa <math>\psi</math> definita su <math>\mathcal{E}</math> si dice '''regolare''' se per ogni <math>A \in \mathcal{E}</math> e <math> \varepsilon > 0</math> esistono <math>F,G \in \mathcal{E}</math>, con <math>F</math> chiuso e <math>G</math> aperto, tali che
:*<math>F \subseteq A\subseteq G</math>
e
:*<math>\psi (G) - \epsilon \leq \psi (A) \leq \psi (F) + \epsilon.</math>
Ad esempio, <math>m</math> è regolare.
Sia ora <math>\mu</math> additiva, non negativa, regolare e finita su <math>\mathcal{E}</math>.
Ricopriamo un insieme <math>B \subseteq \R^{p}</math> con un infinità numerabile di insiemi aperti elementari <math>A_n</math>,
:<math>B \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n</math>
.
Definiamo la '''misura esterna''' di <math>B</math> corrispondente a <math>\mu</math>
::<math>\mu^{\star}(B)=\inf\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)</math>
dove l'<math>\inf</math> è calcolato al variare di tutti i ricoprimenti di <math>B</math>.
Evidentemente
*<math>\mu^{\star}(B)\geq 0</math>,
*<math>B_1 \subseteq B_2</math>, <math>\mu^{\star}(B_1) \leq \mu^{\star}(B_2)</math>
.
::<math>\mu^{\star}(A)=\mu(A)</math>
::<math>B=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n</math> allora <math>\mu^{\star}(B)\leq\sum_{n=1}^{\infty}\mu^{\star}(B)</math>
;Definizione:Definiamo la '''differenza simmetrica''' tra due insiemi <math>A</math> e <math>B</math>
come
:<math> S(A,B)=(A\setminus{B}) \cup (B\setminus{A})</math>
e, se <math> A,B \subseteq \R^{p}</math>
*<math>d(A,B)=\mu^{\star}(S(A,B))</math>.
La funzione <math>d(A,B)</math> è '''quasi''' una distanza: si può mostrare che soddisfa le proprietà
#<math>d(A,
#<math>d(A,B)\leq d(A,C)+d(C,B)\!</math>
ma non è vero che <math>d(A,B)=0\Rightarrow A=B</math>.A questa difficoltà si può ovviare lavorando nell'insieme
delle '''classi di equivalenza''' dei sottoinsiemi di <math>\R^{p}</math> rispetto alla relazione di equivalenza <math>d(A,B)=0\!</math>
.
A meno di riformulazioni ovvie delle definizioni, si ottiene così una distanza a tutti gli effetti, e quindi si può definire uno
spazio metrico.
se
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}d(A,A_n)=0</math>.
:<math>A_n \
diremo che <math>A</math> è '''finitamente <math>\mu</math>-misurabile''', e scriveremo
:<math>
.
Se <math>A</math> è l'unione di una collezione numerabile di insiemi finitamente <math>\mu</math>-misurabili, diremo che è <math>\mu</math>-misurabile, e scriveremo <math>A \in \mathcal{M}(\mu)</math>.
:<math>\mathcal{M}(\mu)</math> è un <math>\sigma</math>-anello, e <math>\mu^{\star}</math> è numerabilmente additiva su <math>\mathcal{M}(\mu)</math>
.
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[[Categoria:Analisi complessa|Misura di Lebesgue]]
{{Avanzamento|50%|21 febbraio 2009}}
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