Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Integrale di Riemann"

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{{Analisi complessa}}
==Integrale secondo Riemann==
 
:Ricordiamo per cominciare la definizione dell''''integrale di Riemann''', oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>
di Riemann, oltre a qualche teorema.
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
<math>R^{1}</math>
.
 
''';Definzione 4.1.1.''':Sia dato un intervallo <math>[a,b]</math>, con<math>a \leq b \in \R</math>. Si definisce '''partizione''' di <math>[a,b]</math>
un insieme finito di punti,<math>[a,b]P</math>, con<math>atali \leqche b \in R</math>.
Si definisce ''partizione'' di <math>[a,b]</math>
un insieme <math>P</math> finito di punti tali che
 
<center> ::<math> a = x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b</math>
</math></center>
 
Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>.
Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su
<math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di
<math>[a,b]</math> poniamo
 
Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo
<center>
<math>
M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad
</math>
<math>
U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i
</math><math>
\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)
</math>
</center>
 
dove <math>\inf</math> e <math>\sup</math>
sono calcolati al variare di tutte le partizioni di
<math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente
''integrale di Riemann superiore'' e ''inferiore''.
 
*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math>
Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice
'''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math>
su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali,
 
*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math>
<center>
*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math>
<math>
\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx
</math>
</center>
 
dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''.
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono
 
<math>m,M \in R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math>
Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice '''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e' detto che abbiano lo stesso valore.
), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math> su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali,
::<math>\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx</math>
 
'''Osserviamo''' che, dato che ogni funzione limitata esistono <math>m,M \in \R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math>
<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> se e solo se per ogni
per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e'è detto che abbiano lo stesso valore.
<math>\epsilon > 0</math> esiste una partizione <math>P</math>
==Teorema==
tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\epsilon </math>
<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math> ,se e solo se per ogni <math>P\varepsilon > 0</math> esiste una partizione di <math>P</math>
tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\epsilonvarepsilon </math>
 
Se tale condizione e' verificata per la partizione
<math>P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} </math> e <math>t_i \in [x_ix_{i-1},x_i]</math> allora
 
::<math>\left|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx\right|<\epsilonvarepsilon.]</math>
<math>
|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx|<\epsilon.]
</math>
 
[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]]
{{Avanzamento|75%|21 febbraio 2009}}
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