Analisi complessa/Integrale di Riemann: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
==Integrale secondo Riemann==
Ci limiteremo ad integrali su intervalli di <math>\R</math>▼
▲Ci limiteremo ad integrali su intervalli di
.
un insieme finito di punti,<math>
Scriveremo inoltre <math>\Delta x_i=x_1 - x_i-1 </math>.
Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su ▼
<math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di ▼
▲Se ora <math>f</math> e' una funzione reale limitata definita su <math>[a,b]</math> , e <math>P</math> una partizione di <math>[a,b]</math> poniamo
M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad▼
U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i ▼
\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)▼
▲*<math>M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad</math>
Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice ▼
), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math>▼
▲*<math>U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i </math>
▲*<math>\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)</math>
\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx▼
</center>
dove <math>\inf, \sup</math> sono calcolati al variare di tutte le partizioni di <math>[a,b]</math> , e i due integrali si dicono rispettivamente '''integrale di Riemann superiore''' e '''inferiore'''.
Osserviamo che, dato che ogni funzione limitata esistono ▼
▲Se i due integrali sono uguali, <math>f</math> si dice '''Riemann-integrabile''' ( <math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non e' detto che abbiano lo stesso valore.▼
▲), e definiamo l'integrale di Riemann di <math>f</math> su <math>[a,b]</math> il valore comune dei due integrali,
▲::<math>\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx</math>
▲'''Osserviamo''' che, dato che ogni funzione limitata esistono <math>m,M \in \R</math> tali che <math>m \leq f(x) \leq M</math>
▲per ogni <math>x \in [a,b]</math> , <math> m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a) </math> gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non
==Teorema==
tale che <math> U(P,f)-L(P,f)<\epsilon </math>▼
▲<math>f \in \mathcal{R}([a,b])</math>
Se tale condizione e' verificata per la partizione
<math>P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} </math> e <math>t_i \in [
▲|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx|<\epsilon.]
[[Categoria:Analisi complessa|Integrale di Riemann]]
{{Avanzamento|75%|21 febbraio 2009}}
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