Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier: differenze tra le versioni

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=Trasformata di Fourier in <math>L^{2}</math>=
 
<math>L^{2}</math> non e' un sottoinsieme di <math>L^{1}</math> , e quindi esistono funzioni in <math>L^{2}</math> per le quali
<center>::<math> \hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-Ii \lambda x}dx </math></center>
<math>L^{1}</math> , e quindi esistono funzioni in
<math>L^{2}</math> per le quali
 
<center><math> \hat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-I \lambda x}dx </math></center>
 
non e' ben definita.
 
Si puo' pero' definirla senza problemi in <math>L^{2} \cap L^{1}</math> ; considerato che <math>L^{2} \cap L^{1}</math> e' un sottoinsieme denso di
<math>L^{2} \cap L^{1}</math> ; considerato che
<math>L^{2} \cap L^{1}</math> e' un sottoinsieme denso di
<math>L^{2}</math> , e che <math>\forall f \in L^{2}</math>
esiste <math>\left\{f_n\right\} \subseteq L^{2} \cap L^{1}</math>
tale che <math>f_n \rightarrow f</math> in norma <math>2</math>
, possiamo definire
 
<center>::<math>\hat{f}=\lim_{n\rightarrow\infty}\hat{f_n}
</math></center>
 
Dato che la norma di <math>L^{2}</math>
non distingue tra funzioni che differiscono su un insieme di misura
<math>0</math> (in effetti gli elementi di
<math>L^{2}</math> sono '''classi di equivalenza'''
di funzioni che sono uguali quasi ovunque), il problema di questa definizione e' che la trasformata e' ben definita come elemento dello spazio di Hilbert <math>L^{2}</math> , ma non puntualmente.
Si puo' dimostrare che vale anche l''''uguaglianza di Parseval'''
:<math>\Vert f \Vert _2=\Vert \hat{f} \Vert _2</math>
 
<center>
<math>
\Vert f \Vert _2=\Vert \hat{f} \Vert _2
</math>
</center>
 
[[Categoria:Analisi complessa|Definizone e Proprietà]]
{{Avanzamento|75%|21 febbraio 2009}}