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Analisi complessa/Definizione e proprietà della trasformata di Fourier: differenze tra le versioni

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'''3.1.Definizione e proprieta'''
 
;Definizione 3.1.1.:Sia <math>L^{1}(R)</math>l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su <math>R</math>,
'''Definizione 3.1.1.'''
:Sia <math>L^{1}(R)</math>l'insieme di tutte le funzioni a modulo integrabile su <math>R</math>, :<math>L^{1}(R)=\left\{ f:R \rightarrow C, \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt < \infty\right\} </math>.
 
Sia <math>f \in L^{1}(R)</math> , definiamo la '''trasformata di Fourier''' di <math>f</math> come la funzione
 
<center>:<math>\hat{f} (\lambda) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-Ii \lambda x} dx </math></center>
 
definiamo poi l' '''antitrasformata''' di Fourier la funzione
di Fourier la funzione
 
<center>:<math>\check{g(x)}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(\lambda) e^{Ii \lambda x} d \lambda </math></center>
 
Sotto opportune ipotesi,
:*<math>\left(\hat{f}\right)*\check{} =f</math>▼
Cioè, l'antitrasformata della trasformata di una funzione <math>f</math> coincide con la funzione stessa
 
''';TEOREMA 3.1.2.''':▼
▲<math>(\hat{f})* =f</math>
 
Sotto opportune ipotesi di regolarità, per le funzioni <math>f,f_1,f_2\in L^{1}(R)</math>e le loro trasformate ▼
▲'''TEOREMA 3.1.2.'''
, <math>\hat{f},\hat{f_1},\hat{f_2}</math> valgono le seguenti proprieta'proprietà algebriche (:▼
:Siano <math>a,b \in \C</math>,<math> k \in \R</math>):▼
 
:(1)#<math>(af_1+bf_2)^{\hat{}} = a\hat{f_1}+b\hat{f_2}</math>▼
Sotto opportune ipotesi di regolarita' , per le
:(2)#<math>(\hat{f})^{\hat{}}(x)=f(-x)</math>▼
funzioni <math>f</math>,<math>f_1</math>,<math>f_2</math>,
:(6)#<math>(\overline{f(kx)})^{\hat{}}(\lambda)=\fracoverline{1}{k}\hat{f}(-\lambda k)}</math>▼
▲<math>\in L^{1}(R)</math>e le loro trasformate
:#<math>(f(x-u))^{\hat{f}</math>,<math>}(\lambda)=e^{-i \lambda u}\hat{f_1f}(\lambda)</math>
:(5)#<math>(e^{Ii \mu x}f(x))^{\hat{}}(\lambda)=\hat{f}(\lambda-\mu)</math>▼
▲, <math>\hat{f_2}</math> valgono le seguenti proprieta' algebriche (
:#<math>(f(kx))^{\hat{}}(\lambda)=\frac{1}{k}\hat{f}\left(\frac{\lambda} {k}\right)</math>
▲<math>a,b \in C</math>,<math>k \in R</math>):
 
e le proprieta'''proprietà analitiche''':▼
▲:(1)<math>(af_1+bf_2) = a\hat{f_1}+b\hat{f_2}</math>
 
:#<math>\hat{f}</math> è limitata, <math>|\hat{f}(\lambda)|\leq \Vert f \Vert _{L^{1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math>▼
▲:(2)<math>(\hat{f})(x)=f(-x)</math>
:(2)#<math>\hat{f}</math> e' uniformemente continua▼
 
:(3)#<math>(\overlinelim_{f})(|\lambda)=|\overline{rightarrow\infty}\hat{f}(-\lambda)}=0</math>
:#Se <math>f^{(m)}\in L^{1}(\R)</math> e <math>\lim_{|x|\rightarrow\infty}f^{(n)}(x)=0</math> per <math>n \leq m</math> , allora <math>(f^{(m)}(x))^{\hat{}}(\lambda)=(i \lambda)^{m}\hat{f}(\lambda)</math>
 
:(4)#Se <math>(x^{m}f(x-u))(\lambda)=ein L^{-I \lambda u}\hat{f1}(\lambdaR)</math> allora
::::<math>\forall j\leq m\quad x^{j} f(x) \in L^{1}(\R)</math>, e <math>((i x)^{j}f(x))(\lambda)^{\hat{}}=\hat{f}^{(j)}(\lambda)</math>▼
 
▲:(5)<math>(e^{I \mu x}f(x))(\lambda)=\hat{f}(\lambda-\mu)</math>
 
▲:(6)<math>(f(kx))(\lambda)=\frac{1}{k}\hat{f}(\lambda k)</math>
 
▲e le proprieta' analitiche:
 
:(1)<math>\hat{f}</math>
e' limitata,
▲<math>|\hat{f}(\lambda)|\leq \Vert f \Vert _{L^{1}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|dx</math>
 
▲:(2)<math>\hat{f}</math> e' uniformemente continua
 
:(3)<math>\lim_{|\lambda|\rightarrow\infty}\hat{f}(\lambda)=0</math>
 
:(4)Se <math>f^{(m)}\in L^{1}(R)</math> e
<math>\lim_{|x|\rightarrow\infty}f^{(n)}(x)=0</math>
per <math>n \leq m</math> , allora
 
<center><math>(f^{(m)}(x))(\lambda)=(I \lambda)^{m}\hat{f}(\lambda)</math></center>
 
:(5)Se <math>x^{m}f(x)\in L^{1}(R)</math> allora
▲<math>\forall j\leq m x^{j} f(x) \in L^{1}(R)</math>, e
 
<center>
<math>
((I x)^{j}f(x))(\lambda)=\hat{f}^{(j)}(\lambda)
</math>
</center>
 
=Trasformata di Fourier in <math>L^{2}</math>=
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