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Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Operatore lineare==
;Definizione 2.7.1:Definiamo <math>\mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert <math>H</math> in se stesso, <math> \mathcal{L}(H)=\{ L:H\rightarrow H ; x,y \in H, \quad\alpha,\beta \in C \Rightarrow L(\alpha x + \beta y)=\alpha Lx + \beta Ly\}
'''Definizione 2.7.1'''
 
Definiamo <math>\mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert <math>H</math> in se stesso, <math> \mathcal{L}(H)=\{ L:H\rightarrow H ; x,y \in H, \quad\alpha,\beta \in C \Rightarrow L(\alpha x + \beta y)=\alpha Lx + \beta Ly\}
</math>.
 
Line 24 ⟶ 22:
=Norme di operatori=
 
;Definizione:Definiamo <math>\mathcal{B}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari limitati su <math>H</math> ; definiamo
:'''Definizione'''
::<math> \Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \left\Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\right\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert </math>
Definiamo <math>\mathcal{B}(H)</math>
l'insieme degli operatori lineari limitati su <math>H</math> ; definiamo
<math> \Vert L \Vert _{\mathcal{B}(H)}=\sup_{x\neq0}\frac{\Vert Lx \Vert }{\Vert x \Vert }=\sup_{x\neq0} \Vert L \frac{x}{\Vert x \Vert }\Vert =\sup_{\Vert x\Vert =1}\Vert Lx\Vert </math>
 
<math>\mathcal{B}(H)</math> e'uno spazio vettoriale su <math>C</math> , ponendo
<math>(L_1+L_2)x=L_1x+L_2x</math>
e <math>(\lambda L)x=\lambda Lx</math>.
 
<math>\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}</math> e' una norma, e <math>\mathcal{B}(H)</math> e' completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
 
:Sia <math>H</math> uno spazio di Hilbert,
<math>x_n</math> una successione in
<math>H</math> con <math>\Vert x_n \Vert \leq K<\infty</math> , <math> y_n </math>
un'altra successione in <math>H</math>
con <math>\Vert y_n \Vert \leq K<\infty</math> e <math> \alpha_n </math>
una successione in <math>C</math>
con <math>\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty</math>
 
<math>\mathcal{B}(H)</math> e'uno spazio vettoriale su <math>\C</math> , ponendo
*<math>(L_1+L_2)x=L_1x+L_2x\!</math>
*<math>(\lambda L)x=\lambda Lx\!</math>.
;Teorema:<math>\Vert \cdot\Vert _{\mathcal{B}(H)}</math> e' una norma, e <math>\mathcal{B}(H)</math> e' completo rispetto alla distanza indotta dalla norma.
;Teorema:Siano:
:*<math>H</math> uno spazio di Hilbert,
:*<math>\left\{x_n\right\}</math> una successione in <math>H</math> con <math>\Vert x_n \Vert \leq K<\infty</math> ,
:*<math>\left\{y_n\right\} </math> un'altra successione in <math>H</math> con <math>\Vert y_n \Vert \leq K<\infty</math>
:*<math> \left\{\alpha_n\right\} </math> una successione in <math>\C</math> con <math>\sum_{n} |\alpha_{n}| \leq K<\infty</math>
:Allora l'applicazione
:*<math> x \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n x_n y_n
</math>
e':è lineare e continua.
 
:''';Definizione2.7.6.''':Consideriamo una successione di operatori
::<math> \left\{L_n\right\} \subseteq \mathcal{L}(H)</math>
Consideriamo una successione di operatori
Diciamo che <math> L_n \subseteqrightarrow \mathcal{L}(H)</math>
 
. Diciamo che <math>L_n \rightarrow L</math>
*'''In norma''' se
::<math> \forall \varepsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \varepsilon</math> ,
:(1)In norma:
:cioè se
se <math> \forall \epsilon > 0 \exists N : n > N \Rightarrow \Vert L_n - L \Vert _{\mathcal{B}(H)}< \epsilon</math> , cioe' se
::<math>\sup_{\Vert x \Vert = 1 } \Vert L_n x -L x \Vert < \epsilon</math> .
:(2)*'''Fortemente:''' se
::<math>\forall x \in H L_n x \rightarrow Lx</math> , cioe' se
:cioè se
<math>\forall \epsilon > 0, x \in H \exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\epsilon</math>
::<math>\forall \varepsilon > 0, x \in H \exists N_x:n>N_n \Rightarrow \Vert L_n x - Lx \Vert <\varepsilon</math>
 
:(3)*'''Debolmente:''' se
::<math>\forall x,y \in H\;(<L_{n}x,y)>\rightarrow (<Lx,y)></math>.
 
;Teorema:La convergenza in norma implica la convergenza forte, che implica
la convergenza debole, ma non viceversa.
 
;Definizione 2.7.8.:Definiamo ''kernel'' (nocciolo) di un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli <math>x \in H</math> tali che <math>L x = 0</math>. Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
:'''Definizione 2.7.8.'''
 
Definiamo ''kernel'' (nocciolo)
 
di un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli <math>x \in H</math>
tali che <math>L x = 0</math>.
Questa definizione corrisponde a quella data per i funzionali lineari.
Definiamo '''rango''' di un operatore l'insieme degli <math>y \in H</math>
tali che <math> L x = y</math> per qualche <math>x \in H</math>:
per qualche <math>x \in H</math>:
 
:<math>\ker L = \left\{ x \in H:L x = 0\right\} </math>
<math>
\ker L = { x \in H:L x = 0}
</math>
<math>
r(L)={ y\in H:\exists x\in H:Lx=y}
</math>
 
:<math>r(L)=\left\{ y\in H:\exists x\in H:Lx=y\right\}</math>
===Operatori aggiunti===
 
==Operatori aggiunti==
:'''Definizione 2.7.9.'''
Sia
<math>L \in \mathcal{L}(H)</math>; definiamo l'
operatore aggiunto
<math>L^{\star}</math>
come l'operatore che
<math>\forall x,y\in H</math>
soddisfa
<math>(Lx,y)= (x, L^{\star} y )</math>
.
 
;Definizione 2.7.9.:Sia <math>L \in \mathcal{L}(H)</math>; definiamo l' '''operatore aggiunto''' <math>L^{\star}</math> come l'operatore che <math>\forall x,y\in H</math> soddisfa
:'''TEOREMA 2.7.10.'''
::<math><Lx,y>= <x, L^{\star} y ></math>.
Se
 
<math>L\in\mathcal{B}(H)</math>
;TEOREMA 2.7.10.:Se <math>L\in\mathcal{B}(H)</math> anche <math>L^{\star}\in\mathcal{B}(H)</math>; inoltre
anche
::<math>\Vert L^{\star} \inVert _{\mathcal{B}(H)}=\Vert L\Vert _{\mathcal{B}}</math>
:e
; inoltre
::<math>\Vert (L^{\star} \Vert _)^{\mathcal{B}star}=\Vert L\Vert _{\mathcal{B}}</math>
e
<math>(L^{\star})^{\star}=L</math>
.
Nel caso finito-dimensionale, per <math>\C^{N}</math>, si puo' mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare con matrici, <math>A=(a_{ij})</math>, con <math>a_{ij} \in \C</math>, in modo tale che
Nel caso finito-dimensionale, per
:<math>C^L \mathbf{Nx} =A\mathbf{x}=\sum_{ij} a_{ij}x_{j} \hat{e}_i</math>,
dove <math>\hat{e}_i</math> sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti <math>x_i</math> dei vettori dello spazio.
, si puo' mostrare che tutti gli operatori lineari si possono rappresentare
 
con matrici,
 
<math>A=(a_ij)</math>
, con
<math>a_ij \in C</math>
, in modo tale che
<math>L \mathbf{x} =A\mathbf{x}=\sum_{ij} a_{ij}x_{j} \hat{e}_i</math>
, dove
<math>\hat{e}_i</math>
sono i vettori della base rispetto alla quale sono date le componenti
<math>x_i</math>
dei vettori dello spazio.
Inoltre, con il prodotto scalare definito come
:<math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i}x_i\overline{y_i}</math>, e' facile mostrare che
<math>L^{\star}</math> e' rappresentato dalla '''matrice aggiunta'''
, e' facile mostrare che
:<math>LA^{\star}=(\overline{a_{ji}})</math>
e' rappresentato dalla
'''matrice aggiunta'''
 
<math>A^{\star}=(\overline{a_ji})</math>
.
 
===Operatori compatti===
 
Introduciamo per prima cosa alcune nozioni topologiche su spazi metrici (valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).
(valide quindi in particolare su spazi di Hilbert).
 
''';Definizione 2.7.11.:Sia <math>A \subseteq X</math>, dove <math>X</math> e''' uno spazio metrico.
<math>A</math> si dice '''compatto''' se per ogni successione
 
:<math>\left\{x_n\right\} \subseteq A</math>
Sia
<math>A \subseteq X</math>
, dove
<math>X</math>
e' uno spazio metrico.
<math>A</math>
si dice
'''compatto'''
se per ogni successione
<math>{x_n} \subseteq A</math>
esiste una sottosuccessione che converge ad un punto <math>x \in A</math>.
 
Un insieme si dice
'''chiuso''' se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura <math>\bar{A}</math> di un insieme <math>A</math> e' l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente <math>\bar{A}=A</math> se <math>A</math>
e' chiuso.
 
Un insieme si dice '''chiuso''' se contiene tutti i suoi punti di accumulazione; la chiusura <math>\bar{A}</math> di un insieme <math>A</math> è l'unione dell'insieme e dell'insieme dei suoi punti di accumulazione; chiaramente <math>\bar{A}=A</math> se <math>A</math> e' chiuso.
:Un insieme si dice
''precompatto''
se la sua chiusura e' compatta.
 
:'''TEOREMA 2.7.12'''
Sia <math>A \subseteq J</math>
dove <math> J </math>
e' uno spazio normato; allora se
<math> A </math> e' compatto, e' anche chiuso e limitato (
<math>\exists K>0:\Vert x \Vert _J<K \forall x\in A</math>)
.
 
Un insieme si dice '''precompatto''' se la sua chiusura e' compatta.
:Se
<math> J=R^N,C^N </math>
(finito-dimensionale)
<math>A\subseteq J</math>
e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato.
 
;TEOREMA 2.7.12:Sia <math>A \subseteq J</math> dove <math> J </math> è uno spazio normato; allora se
:'''Teorema di Bolzano-Weierstrass'''
<math> A </math> e' compatto, e' anche chiuso e limitato (<math>\exists K>0:\Vert x \Vert _J<K \forall x\in A</math>).
 
In
Se <math> J=\R^N,\C^N </math> (finito-dimensionale) <math>A\subseteq J</math> è compatto se e solo se e' chiuso e limitato.
<math>C^{N}</math>
 
ogni successione limitata ammette una
;Teorema di Bolzano-Weierstrass:In <math>\C^{N}</math> ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente, e ogni insieme limitato ed infinito ha almeno un punto di accumulazione.
sottosuccessione convergente, e ogni
insieme limitato ed infinito ha almeno
un punto di accumulazione.
Questi teoremi non si possono pero'però estendere al caso infinito-dimensionale, infatti sussiste il seguente
;Teorema:Sia <math>H</math> spazio di Hilbert, con <math>\dim H=\infty</math>,allora l'insieme
estendere al caso infinito-dimensionale:
<math>S=\left\{ x:\Vert x \Vert =1\right\} </math> è chiuso e limitato ma non compatto.
 
Sia <math>H</math> spazio di Hilbert, con
<math>\dim H=\infty</math>
,allora l'insieme
<math>S={ x:\Vert x \Vert =1} </math>
e' chiuso e limitato ma non compatto.
Siamo ora pronti a definire la nozione di
operatori compatti.
 
;Definizione 2.7.16:Un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math> si dice '''compatto''' se per <math>\forall C\subseteq H</math> limitato, <math>L(C)</math> è precompatto; in altre parole, se
:'''Definizione 2.7.16'''
*<math>\forall x_n \in H ,\Vert x_n \Vert < K\quad\exists \left\{ x_{n_k} \right\} : \left\{ L x_{n_k} \right\} </math> converge.
Un operatore
<math>L \in \mathcal{L}(H)</math>
si dice
'''compatto'''
se per
<math>\forall C\subseteq H</math>
limitato <math>L(C)</math>
e' precompatto; in altre parole, se
<math>\forall x_n \in H ,\Vert
x_n \Vert < K \exists { x_nk }
: { L x_nk } </math>
converge.
 
;TEOREMA 2.7.17.:Se <math>\dim r(L) <\infty</math>, <math>L</math> e' compatto.
:'''TEOREMA 2.7.17.'''
Se <math>\dim r(L) <\infty</math>, <math>L</math> e' compatto.
 
Se <math>H</math> e' separabile, ogni operatore compatto e' limite in norma di una successione di operatori <math>A_n</math>
Line 212 ⟶ 129:
==Spettro di operatori==
 
''';Definizione 2.7.18.''':Definiamo il prodotto di due operatori
*<math>L_1 , L_2 \in \mathcal{B}(H)</math>
Definiamo il prodotto di due operatori
come
<math>L_1 , L_2 \in \mathcal{B}(H)</math>
come *<math>(L_1 L_2) x = L_1(L_2 x) \forall x \in H</math>.
È facile notare che
:<math>\Vert L_1 L_2 \Vert \leq \Vert L_1 \Vert \Vert L_2 \Vert </math>.
Questo fatto, unito alla completezza di <math>\mathcal{B}(H)</math> ed alla presenza di un funzionale lineare continuo
<math>\mathcal{B}(H)</math>
ed alla presenza di un funzionale lineare continuo
<math>E:x \rightarrow x</math>
tale che
:<math>LE=EL=L : \forall L\in\mathcal{B}(H)</math>
e
:<math>\Vert E \Vert =1</math>
fa di <math>\mathcal{B}(H)</math> un' '''algebra di Banach'''.
fa di
<math>\mathcal{B}(H)</math>
un' algebra di Banach.
 
Definiamo l' '''operatore inverso'''di un operatore <math>L:H \rightarrow H</math>
di un operatore
<math>L:H \rightarrow H</math>
l'operatore
*<math>L^{-1}</math> tale che <math>\forall y \in H L^{-1}y=x\iff Lx=y</math>; l'operatore inverso esiste se e solo se
<math>L^{-1}</math>
<math>L</math> è biunivoco: se <math>L</math> non fosse suriettivo, <math>L^{-1}</math> non sarebbe definito per qualche <math>y \in H</math>, e se non fosse iniettivo, <math>L x_1 = L x_2 = y</math> e quindi <math>L^{-1}y</math> non sarebbe univocamente definito;
tale che
*<math>\forall y \in H L^{-1}yL=x\iff LxLL^{-1}=yE</math>.
; l'operatore inverso esiste se e solo se
<math>L</math>
e' biunivoco: se
<math>L</math>
non fosse suriettivo,
<math>L^{-1}</math>
non sarebbe definito per qualche
<math>y \in H</math>
, e se non fosse iniettivo,
<math>L x_1 = L x_2 = y</math>
e quindi
<math>L^{-1}y</math>
non sarebbe univocamente definito;
<math>L^{-1}L=LL^{-1}=E</math>
.
L'inversa di un'applicazione lineare e' lineare.
 
'''==Teorema della mappa aperta'''==
Siano <math>G</math> e <math>W</math> due spazi di Banach su <math>\C</math>, e
Siano
<math>L:G\rightarrow W</math> lineare.
e
<math>W</math>
due spazi di Banach su
<math>C</math>
, e
<math>L:G\rightarrow W</math>
lineare.
Se
:<math>L(G)=W</math>(se <math>L</math> è suriettiva)
(se
allora sia
<math>L</math>
:<math>S_G\subseteq G=\left\{ x \in G: \Vert x \Vert \leq 1\right\} </math>
e' suriettiva) allora sia
la sfera unitaria in <math>G</math>, allora
<math>S_G\subseteq G={ x \in G: \Vert x \Vert \leq 1} </math>
la sfera unitaria in
<math>G</math>
, allora
<math>\delta S_W\subseteq L(S_G)</math>
, dove <math>\delta S_W</math> è la sfera di raggio <math>\delta>0</math> in <math>W</math>
, dove
<math>\delta S_W</math>
e' la sfera di raggio
<math>\delta>0</math>
in
<math>W</math>
.
 
''';Corollario.''':Se <math>L\in\mathcal{B}(H)</math>
:Se <math>L\in\mathcal{B}(H)</math>
ed e' biunivoca, allora
:<math>\Vert Lx \Vert \geq \delta \Vert x \Vert </math>;allora
pertanto
<math>\Vert x \Vert = \Vert LL^{-1}x \Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert </math>
:<math>\Vert x \Vert = \Vert LL^{-1}x \Vert \geq \delta \Vert L^{-1}x\Vert </math>
.
quindi
Quindi
:<math>\Vert L^{-1}x \Vert \leq 1 \delta \Vert x \Vert </math>
,e quindidunque
:<math>L^{-1} \in \mathcal{B}(H)</math>
.
'''Definizione di spettro.'''
Definiamo lo ''spettro'' <math>\sigma(L)</math> di un operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math> come l'insieme dei <math>\lambda \in \C</math> tali che
:<math>L - \lambda E\!</math>
non ammette inverso continuo.
 
Se esiste un vettore <math>v\neq 0</math>
 
tale che per un <math> \bar {\lambda} \in \sigma (L)</math>
Se esiste un vettore <math>v\neq 0</math> tale che per un <math> \bar {\lambda} \in \sigma (L)</math>
vale che <math>Lv- \bar {\lambda} v=0</math>
(in altri termini se <math>\ker(L-\bar {\lambda} E)\neq 0 </math>) si dice che <math>\bar{\lambda}</math>
) si dice che <math>\bar{\lambda}</math>
e' un '''autovalore''' di <math>L</math>.
L'insieme degli autovalori si dice '''spettro discreto''' <math>\sigma_D (L)</math>;
chiaramente <math>\sigma_D \subseteq \sigma</math> .
 
;TEOREMA 2.7.23:Per ogni operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math>,<math>\sigma (L)</math> è chiuso e limitato.
'''TEOREMA 2.7.23'''.
Per ogni operatore <math>L\in\mathcal{B}(H)</math>,<math>\sigma (L)</math> e' chiuso e limitato.
 
;TEOREMA 2.7.24:Sia <math>T \in \mathcal{L} (H)</math> operatore compatto. Allora e' vero che:
'''TEOREMA 2.7.24'''.
Sia :*<math>T \inforall\lambda\neq 0 \mathcal{L}dim \ker(HT-\lambda I)<\infty</math>
operatore compatto. Allora e' vero che:
<math>\forall\lambda\ neq0 \dim \ker(T-\lambda I)<\infty</math>
 
:(2)*Se <math> \dim H = \infty</math> allora <math>0 \in \sigma(T)</math>
<math>0 \in \sigma(T)</math>
 
::(3)*<math>\forall S \in \mathcal{B}(H)</math>
:sia <math>ST</math> che <math>TS</math> sono compatti.
sono compatti.
 
;TEOREMA 2.7.25.:Sia <math>T \in \mathcal{L}(H)</math> operatore compatto. Per ogni <math>n>0</math> esiste solo un numero finito di elementi di <math>\sigma(T)</math> che siano maggiori di <math>0</math> ; in altri termini gli elementi dello spettro sono al piu' numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione e' lo <math>0</math>.Inoltre <math>\sigma(T)=\sigma_D (T)</math>.
'''TEOREMA 2.7.25.'''
Sia <math>T \in \mathcal{L}(H)</math>
operatore compatto.
Per ogni <math>n>0</math> esiste solo un numero finito di elementi di <math>\sigma(T)</math> che siano maggiori di <math>0</math> ; in altri termini gli
elementi dello spettro sono al piu' numerabili, e se sono infiniti, l'unico punto di accumulazione e' lo <math>0</math>.
Inoltre <math>\sigma(T)=\sigma_D (T)</math>.
 
''';Operatori autoaggiunti.''':Un operatore si dice '''autoaggiunto''' se <math>L^{\star}=L</math>.Se <math>L \in \mathcal{B}(H)</math>e' autoaggiunto, allora i suoi autovalori sono reali, e gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti
sono ortogonali.
 
 
Se <math>T \in \mathcal{B}(H)</math>
;Teorema:Se <math>T \in \mathcal{B}(H)</math> è compatto ed autoaggiunto, e <math>H</math> è separabile, allora gli autovettori di <math>T</math> costituiscono una base Hilbertiana per <math>H</math>
e' compatto ed autoaggiunto, e
<math>H</math>
e' separabile, allora gli autovettori di
<math>T</math>
costituiscono una base Hilbertiana per
<math>H</math>
.
 
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Operatori_lineari_in_H"