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Analisi complessa/Serie trigonometriche: differenze tra le versioni

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m Bot: Modifico Categoria:Corso di Analisi Complessa
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{{Analisi complessa}}
 
''';Definizione 2.6.1.''':Sia
Sia ::<math>\mathbb{T }= \{z \in \C : |z| = 1\}</math>
il '''cerchio unitario''' nel piano complesso;
se
<math>F:\mathbb{T} \rightarrow \C</math> e' una qualsiasi funzione definita su <math>\mathbb{T}</math>, la funzione definita su <math>\R</math>
come <math>Tf(t)=F(e^{it})</math>, lae' una '''funzione definitaperiodica''' sudi periodo <math>2\pi</math>
.Viceversa, ad ogni funzione periodica su <math>\R</math> di periodo <math>2\pi</math> corrisponde una funzione <math>F</math> definita su <math>\mathbb{T}</math> .
<math>R</math>
come <math> f(t)=F (e^{It})</math>
e' una funzione periodica di periodo
<math>2\pi</math>
.
Viceversa, ad ogni funzione periodica su
<math>R</math>
di periodo <math>2\pi</math>
corrisponde una funzione
<math>F</math> definita su
<math>T</math> .
;Definizione 2.6.1:Sia <math>C(\mathbb{T})</math> l'insieme di tutte le funzioni continue definite su <math>\mathbb{T}</math> (o equivalentemente delle funzioni su <math>\R</math> continue e <math>2\pi</math>-periodiche).
'''Definizione 2.6.1'''
<math>C(T)</math> sia l'insieme di tutte le funzioni
continue definite su <math>T</math>
(o equivalentemente delle funzioni su
<math>R</math> continue e <math>2\pi</math>
-periodiche).
Definendo il prodotto interno
*<math>(<f , g)>=\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \overline{g(t)}dt</math>
<math>C(\mathbb{T})</math> e' uno spazio '''pre-Hilbertiano''', ma non e' completo.
{\pi} f(t) \overline{g(t)}dt</math>
In effetti, <math>C(\mathbb{T})</math> e' unocompleto spaziorispetto alla norma dell'estremo pre-Hilbertianosuperiore,
:<math>\Vert f \Vert =\sup_{t \in [0,2\pi]} |f(t)| </math>,
ma non e' completo.
che pero' non deriva da un prodotto scalare e non permette di strutturare <math>C(\mathbb{T})</math> come uno spazio con prodotto interno.
In effetti, <math>C(T)</math>
Per ottenere una struttura Hilbertiana su <math>\mathbb{T}</math> e' necessario concepire un integrale piu' generale di quello di '''Riemann-Stieltjes''', e considerare l'insieme delle funzioni a quadrato integrabile ,<math>L^{2}\left(\mathbb{T}\right)</math>, con prodotto scalare
e' completo rispetto alla norma dell'estremo superiore,
*<math>\Vert <f \Vert ,g>=\sup_int_{t -\in [0,2pi}^{\pi]} |f(t)| \overline{g(t)}dt</math>
, che pero' non deriva da un prodotto scalare
e non permette di strutturare
<math>C(T)</math>
come uno spazio con prodotto interno.
Per ottenere una struttura Hilbertiana su
<math>T</math>
e' necessario concepire un integrale piu' generale di quello di Riemann-Stieltjes, e considerare l'insieme delle funzioni a quadrato integrabile (<math>L^{2}(T)</math>
), con prodotto scalare
 
<center>
<math>
(f,g)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt
</math>
</center>
si puo' dimostrare che questo spazio e' completo.
 
==Polinomi trigonometrici==
;Definizione 2.6.2:Consideriamo gli insiemi ortonormali in <math>C(\mathbb{T})</math>,
:*<math>\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos{kx},\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin{kx} \right\}_{k=1}^\infty\qquad \left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}e^{inx}}\right\}_{n=-\infty}^\infty</math>
 
definiamo quindi i '''polinomi trigonometrici''' come le combinazioni lineari finite di elementi delle due basi, rispettivamente
:'''Definizione 2.6.2'''
*<math>P_{N}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}a_0 + \sum_{k=1}^{N}
Consideriamo gli insiemi ortonormali in
\left(a_{k}\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+b_{k}\frac{\sin kx}
<math>C(T)</math>
{\sqrt{\pi}}\right)\qquad P_{N}(x)=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} \frac{e^{i nx}}{\sqrt{2\pi}}
,
 
<center>
<math>
\frac{1}{\sqrt{2\pi} , \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos kx, \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin kx} _{k=1}^{\infty},\qquad { \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{I nx}} _{n=-\infty}^{\infty}
</math>
</center>
 
I polinomi trigonometrici sono densi in <math>C(\mathbb{T})</math>, sia considerando la convergenza uniforme che la convergenza in norma due.Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti sono sistemi ortonormali massimali; anche i polinomi trigonometrici a coefficienti razionali (che sono numerabili) sono densi in <math>L^{2}(\mathbb{T})</math>, ne segue che <math>L^{2}(\mathbb{T})</math> e' '''separabile'''.
definiamo quindi i
'''polinomi trigonometrici'''
come le combinazioni lineari finite di elementi
delle due basi, rispettivamente
<math>
P_{N}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}a_0 + \sum_{k=1}^{N}
(a_{k}\frac{\cos kx}{\sqrt{\pi}}+b_{k}\frac{\sin kx}
{\sqrt{\pi}}),\qquad P_{N}(x)
=\sum_{n=-N}^{N} c_{n} \frac{e^{I nx}}{\sqrt{2\pi}}]
<math>
 
;Corollario 2.6.4:Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel caso generale di uno spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione <math>f \in L^{2}(\mathbb{T})</math> definiamo i suoi coefficienti di Fourier
I polinomi trigonometrici sono densi in
*<math>\hat{f}(n)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>
<math>C(T)</math>
, sia considerando la convergenza uniforme che la
convergenza in norma due.
Quindi gli insiemi ortonormali sopra definiti
sono sistemi ortonormali
massimali; anche i polinomi trigonometrici a
coefficienti razionali (che
sono numerabili) sono densi in
<math>L^{2}(T)</math>
, ne segue che
<math>L^{2}(T)</math>
e' separabile.
 
'''Corollario 2.6.4'''
Valgono risultati analoghi a quelli dimostrati nel
caso generale di uno
spazio di Hilbert qualsiasi: se per una funzione
<math>f \in L^{2}(T)</math>
definiamo i suoi coefficienti di Fourier
<math>
\hat{f}(n)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-I nt}}{\sqrt{2\pi}}dt]
</math>
allora vale l'uguaglianza di Parseval
*<math>\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}</math>
<math>
\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\overline{g(t)}dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)\overline{\hat{g}(n)}
</math>
e il teorema di Riesz-Fischer: per ogni sequenza di numeri complessi
<math>\left\{c_n\right\}</math> sommabile in modulo quadro vi e' una funzione in
<math>L^{2}(\mathbb{T})</math> per la quale
sommabile in modulo quadro vi e' una funzione in
<math>Lc_n=\int_{-\pi}^{2\pi}f(Tt)\frac{e^{-i nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>.
per la quale
<math>c_n=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{e^{-I nt}}{\sqrt{2\pi}}dt</math>
.
 
[[Categoria:Analisi complessa|Serie Trigonometriche]]
{{Avanzamento|75%|20 febbraio 2009}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Serie_trigonometriche"