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Analisi complessa/Campi e spazi vettoriali: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
 
==Campo==
Si dice '''campo'''
Si dice '''campo''' un insieme <math>\mathbb{E}</math> sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, se <math>x, y, z\in E</math> allora:
un insieme
<math>E</math>
sul quale siano definite le due operazioni algebriche fondamentali di addizione e moltiplicazione e le relative proprietà formali, ossia:
:(1)<math>x, y, z\in E</math>
 
;per l'addizione
:(2)<math>x + y \in E</math>
#<math>x + y \in \mathbb{E}</math> (''chiusura rispetto all'addizione'')
#<math>x + y = y + x\!</math> (''proprietà commutativa'')
#<math>( x + y ) + z =x + ( y + z)\!</math> (''prorpietà associativa'')
#<math> \exists 0 \in \mathbb{E} : \forall x \in \mathbb{E} :x + 0 = x</math> (''elemento neutro reispetto all'addizione'')
#<math>\forall x \in \mathbb{E}\quad\exists -x \in E:x+(-x)=0</math> (''elemento opposto'')
;per la moltiplicazione
#<math>x\cdot y\in \mathbb{E}</math> (''chiusura rispetto alla moltiplicazione'')
#<math>x \cdot y = y \cdot x</math> (''proprietà commutativa rispetto alla moltiplicazione'')
#<math>( x \cdot y ) \cdot z =x \cdot(y \cdot z)</math> (''proprietà associativa rispetto alla moltiplicazione'')
#<math>\exists 1 \in E : \forall x \in \mathbb{E}\quad 1 \cdot x = x</math> (''elemento neutro rispetto alla moltiplicazione'')
#<math>\forall x\in \mathbb{E}\setminus{\{0\}}\quad\exists 1/x \in E: x \cdot(1/x)=1</math> (''elemento inverso rispetto alla moltiplicazione'')
#<math>x\cdot( y + z)=x\cdot y + x \cdot z</math> (''proprietà distributiva dell'addizione rispetto alla moltiplicazione'')
 
'''Esempi''':Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, <math>\mathbb{R}</math>
:(3)<math>x + y = y + x</math>
e <math>\mathbb{C}</math>
sono due esempi molto importanti di campi.
 
==Spazio vettoriale==
:(4)<math>( x + y ) + z =x + ( y + z)</math>
;Definizione:Si dice '''spazio vettoriale''' rispetto ad un campo <math>\mathbb{E}</math> un insieme <math>V</math> sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, che godono delle seguenti proprieta':
 
;Proprietà:(5)siano <math> \exists 0mathbf{x}, \inmathbf{y} E :, \forall xmathbf{z} \in EV</math> :xe +<math>\alpha 0, =\beta x\in \mathbb{E}</math>
 
allora
:(6)<math>\forall x \in E: \exists -x \in E:x+(-x)=0</math>
 
:(7)#<math>x\cdotmathbf{x} + \mathbf{y} \in EV</math>
#<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>
#<math> ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + ( \mathbf{y} + \mathbf{z} )</math>
#<math>\exists \mathbf{0} \in V : \forall \mathbf{x} \in V : \mathbf{x}+\mathbf{0} = \mathbf{x}</math>
#<math>\forall \mathbf{x} : \exists-\mathbf{x} : \mathbf{x} + ( - \mathbf{x})=\mathbf{0}</math>
#<math>\alpha\mathbf{x}\in V</math>
#<math>\alpha(\beta\mathbf{x})=(\alpha\cdot\beta)\mathbf{x}</math>
#<math>\alpha(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\alpha\mathbf{x}+\alpha\mathbf{y}</math>
#<math>(\alpha+\beta)\mathbf{x}=\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{x}</math>
 
:(8)<math>x \cdot y = y \cdot x</math>
 
*Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono '''vettori''', ed il vettore
:(9)<math>( x \cdot y ) \cdot z =x \cdot(y \cdot z)</math>
::<math>\mathbf{v}=\sum_{i}c_{i}\mathbf{x}_{i}</math>
:si dice '''combinazione lineare''' dei vettori <math>\mathbf{x}_{i}\in V</math> con coefficienti <math> c_i\in\mathbb{E}</math>;
 
:(10)<math>\exists 1 \in E : \forall x \in E : 1 \cdot x = x</math>
 
*Se <math>S\subseteq V</math>, l'insieme <math><S>\!</math> di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in <math>S</math> si dice '''inviluppo lineare (span)''' di <math>S</math>, oppure si dice che <math><S>\!</math> genera (spans) <math>S</math>.
:(11)<math>\forall x\in E: \exists 1/x \in E: x \cdot(1/x)=1</math>
 
:(12)<math>x\cdot( y + z)=x\cdot y + x \cdot z</math>
 
*I vettori <math>\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k}</math> si dicono '''linearmente indipendenti''' se
Gli insiemi dei numeri reali e dei numeri complessi, <math>\mathbb{R}</math>
::<math>\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathbf{x}_i=\mathbf{0}:\Rightarrow c_{i}=0\quad\forall i=1,\ldots,k</math>
e <math>\mathbb{C}</math>
:si dicono '''dipendenti''' in caso contrario.
sono due esempi molto importanti di campi.
 
'''Definizione 2.3.2.'''
Si dice ''spazio vettoriale''
rispetto ad un campo <math>C</math>
un insieme <math>V</math>
sul quale siano definite le operazioni di somma e di moltiplicazione per
uno scalare, che godono delle seguenti proprieta' :
 
*Se uno spazio vettoriale <math>V</math> contiene ''r'' vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene ''r+1'' si dice che ha '''dimensione''' ''r'', e si scrive <math>\dim V=r</math>.
siano
 
*Un insieme <math>S</math> di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori di <math>S</math> sono linearmente indipendenti.
<math> \mathbf{x}, \mathbf{y} , \mathbf{z} \in V</math>
e
<math>\alpha , \beta \in C</math>
 
*Un sottoinsieme <math>B\subseteq V</math> che generi <math>V</math> e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice '''base''' di <math>V</math>.
allora
 
:(1)<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} \in V</math>
:(2)<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>
 
È opportuno sottolineare che una base vettoriale è tale se genera tutti i vettori di <math>V</math> come combinazioni lineari di un numero finito di vettori della base stessa.
:(3)<math> ( \mathbf{x} + \mathbf{y} ) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + ( \mathbf{y} + \mathbf{z} )</math>
 
==Teorema 2.3.3.==
:(4)<math>\exists \mathbf{0} \in V : \forall \mathbf{x} \in V : \mathbf{x}+\mathbf{0} = \mathbf{x}</math>
Se uno spazio vettoriale e' generato da un insieme di ''r'' vettori, allora <math>\dim V \leq r</math>.
 
Se <math>\dim V=r</math> allora:
:(5)<math>\forall \mathbf{x} : \exists-\mathbf{x} : \mathbf{x} + ( - \mathbf{x})=\mathbf{0}</math>
 
#Un insieme di <math>r</math> vettori genera <math>V</math> se e solo se gli <math>r</math> vettori sono linearmente indipendenti
:(6)<math>\alpha\mathbf(x)\in V</math>
#<math>V</math> ha almeno una base, ed ogni base consiste di <math>r</math> vettori.
#Se <math> \mathbf{y_i}_{i=1}^{s}</math> con <math>1\leq s\leq r</math>, ed i vettori <math>\mathbf{y}_{i}</math> sono linearmente indipendenti, esiste una base di <math>V</math> che contiene i vettori <math>\mathbf{y}_{i}</math>.
 
==Sottospazio==
:(7)<math>\alpha(\beta\mathbf(x))=(\alpha\cdot\beta)\mathbf(x)</math>
;Definizione 2.3.4.:Un sottoinsieme <math>M\subset V</math> è un '''sottospazio''' dello spazio vettoriale <math>V</math> se è a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per scalare definite in <math>V</math>.
 
In altri termini, è un sottospazio se:
:(8)<math>\alpha(\mathbf(x)+\mathbf{y})=\alpha\mathbf(x)+\alpha\mathbf{y}</math>
<math>\forall \mathbf{z},\mathbf{w} \in M, \alpha \in \mathbb{E}</math> si ha:
 
:(9)#<math>( \alphamathbf{z} +\beta) \mathbf(x)={w} \alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf(x)in M</math>
#<math>\alpha \mathbf{z} \in M</math>
 
Gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono
''vettori'', ed il vettore
<math>\mathbf{v}=\sum_{i}c_{i}\mathbf(x)_{i}</math>
si dice
'''combinazione lineare'''
dei vettori
<math>\mathbf(x)_{i}\in V</math>
con coefficienti
<math> c_{i}\in C </math>;
se
<math>S\subseteq V</math>
, l'insieme
<math>S</math>
di tutte le combinazioni lineari finite dei vettori contenuti in
<math>S</math>
si dice
'''inviluppo lineare (span)'''
di
<math>S</math>
, oppure si dice che
<math>S</math>
genera (spans)
<math>S</math>
.
I vettori
<math>\mathbf(x)_1,\ldots,\mathbf(x)_{k}</math>
si dicono
'''linearmente indipendenti'''
se
<math>\sum_{i=1}^{k}c_{i}\mathbf(x)_{i}=\mathbf{0}:\Rightarrow c_{i}=0</math>
, e si dicono
dipendenti
in caso contrario.
Se uno spazio vettoriale
<math>V</math>
contiene
<math>r</math>
vettori linearmente indipendenti ma non ne contiene
<math>r+1</math>
si dice che ha
dimensione
<math>r</math>
, e si scrive
<math>\dim V=r</math>
.
Un insieme
<math>S</math>
di vettori si dice indipendente se tutti i sottoinsiemi finiti di vettori
di
<math>S</math>
sono linearmente indipendenti.
 
==Insieme convesso==
Un sottoinsieme
Un sottoinsieme <math>E\in V</math> si dice '''convesso''' se per ogni <math>\mathbf{x},\mathbf{y}\in E</math>,con <math>0<t<1\!</math>, si ha che:
<math>B\subseteq V</math>
::<math>\mathbf{z}=t\mathbf{y}+(1-t)\mathbf(x)\in E</math>;
che generi
<math>V</math>
e sia composto da vettori linearmente indipendenti si dice
base
di
<math>V</math>
.
È opportuno sottolineare che una base vettoriale e' tale se genera tutti
i vettori di
<math>V</math>
come combinazioni lineari di un numero
finito
di vettori della base stessa.
 
;Osservazioni:Chiaramente, ogni sottospazio e' convesso, e se un insieme <math>E</math> è convesso, lo e' anche il suo '''traslato'''
'''TEOREMA 2.3.3.'''
::<math>E+\mathbf{w}= \{\mathbf{x}+\mathbf{w} : \mathbf{x} \in E\}</math>.
Se uno spazio vettoriale e' generato da un insieme di
<math>r</math>
vettori, allora
<math>\dim V \leq r</math>
.
Se
<math>\dim V=r</math>
allora:
 
==Applicazioni lineari==
:(1)Un insieme di
;Definizione 2.3.5.:Un'applicazione <math>A</math> da uno spazio vettoriale <math>X</math> ad uno spazio vettoriale <math>Y</math> si dice '''lineare''' se <math>\forall\mathbf{x},\mathbf{y}\in X,\alpha,\beta\in \mathbb{E}</math>
<math>r</math>
::<math>A(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})=\alpha A(\mathbf{x})+\beta A(\mathbf{y})</math>.
vettori genera
<math>V</math>
se e solo se gli
<math>r</math>
vettori sono linearmente indipendenti
 
*Le applicazioni lineari da <math>X</math> in <math>X</math> si dicono '''operatori lineari''' su <math>X</math>.
:(2)<math>V</math>
ha almeno una base, ed ogni base consiste di
<math>r</math>
vettori.
 
:(3)Se
<math> \mathbf{y_i}_{i=1}^{s}</math>
con
<math>1\leq s\leq r</math>
, ed i vettori
<math>\mathbf{y}_{i}</math>
sono linearmente indipendenti, esiste una base di
<math>V</math>
che contiene i vettori
<math>\mathbf{y}_{i}</math>
.
 
;Definizione 2.3.6.:Un'applicazione lineare <math>L:X \rightarrow \mathbb{C}</math> si dice '''funzionale lineare'''.
'''Definizione 2.3.4.'''
Un sottoinsieme
<math>M\subset V</math>
e' un
''sottospazio''
dello spazio vettoriale
<math>V</math>
se e' a sua volta uno spazio vettoriale, rispetto alla somma ed alla moltiplicaz
ione per scalare definite in
<math>V</math>
.
In altri termini, e' un sottospazio se
<math>\forall \mathbf{z},\mathbf{w} \in M,: \alpha \in C</math>
<math> \mathbf{z} + \mathbf{w} \in M</math>
e
<math>\alpha \mathbf{z} \in M</math>
.
 
Un sottoinsieme
<math>E\in V</math>
si dice
''convesso''
se per ogni
<math>\mathbf{x},\mathbf{y}\in E</math>
,
<math>0<t<1</math>
<math>\mathbf{z}=t\mathbf{y}+(1-t)\mathbf(x)\in E</math>
; chiaramente, ogni sottospazio e' convesso, e se un insieme
<math>E</math>
e' convesso, lo e' anche il suo
''traslato''
<math>E+\mathbf{w}= \mathbf(x)+\mathbf{w} : \mathbf(x) \in E </math>
.
 
===Applicazioni lineari===
'''Definizione 2.3.5.'''
Un'applicazione
<math>A</math>
da uno spazio vettoriale
<math>X</math>
ad uno spazio vettoriale
<math>Y</math>
si dice
'''lineare'''
se
<math>\forall\mathbf(x),\mathbf{y}\in X,\alpha,\beta\in C</math>
<math>A(\alpha\mathbf(x)+\beta\mathbf{y})=\alpha
A(\mathbf(x))+\beta A(\mathbf{y})</math>
.
Le applicazioni lineari da
<math>X</math>
in
<math>X</math>
si dicono
'''operatori lineari'''
su
<math>X</math>
.
'''Definizione 2.3.6.'''
Un'applicazione lineare
<math>L:X \rightarrow \mathbb{C}</math>
si dice
funzionale lineare.
*L'insieme dei vettori in <math>X</math> tali che <math>Lx=0</math> si dice '''kernel''' (nocciolo, o nucleo) del funzionale <math>L</math>.
L'insieme dei vettori in
:In altre parole si definisce il kernel di un funzionale ''L'', il seguente insieme:
<math>X</math>
::<math>Ker(L):=\{\mathbf{x}\in X: L\mathbf{x}=0\}</math>
tali che
<math>Lx=0</math>
si dice
'''kernel''' (nocciolo)
del funzionale
<math>L</math>
.
 
[[Categoria:Analisi complessa|Campi e Spazi Vettoriali]]
{{Avanzamento|100%|15 febbraio 2009}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Campi_e_spazi_vettoriali"