Analisi complessa/Calcolo dei residui: differenze tra le versioni
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:Si rimanda alla definizione di singolarità isolata; per una singolarità isolata <math>z_0</math> di una funzione <math>f</math>, esiste sempre un [[w:Intorno|Intorno]] in cui la funzione <math>f</math> è analitica, ed è quindi esprimibile in serie di Laurent.
==Teorema==
Dalla definizione dei coefficienti della serie di Laurent segue che, per un contorno <math>C</math> contenuto nell'intorno della singolarità ,
▲<math>\int_{C}f(z)dz =2\pi I b_1,</math>
dove <math>b_1</math> è il coefficiente del termine <math>1/(z-z_0)</math> nella serie di Laurent.
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:Sia <math>C</math> un contorno semplice chiuso orientato positivamente. Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno di <math>C</math> tranne che per un numero finito di singolarità isolate <math>z_{k}</math>, allora
▲<math> \int_{C}f(z)dz =2\pi I\sum_{k=1}^{n} Res_{z =z_{k}}f(z)]</math>
===Teorema 1.6.4===
:Se una funzione è olomorfa in <math>C</math>, eccetto che per un numero finito di punti singolari interni ad un contorno semplice chiuso <math>C</math> orientato positivamente, allora
::<math>\int_{C} f(z)dz =2\pi
▲\int_{C} f(z)dz =2\pi I Res_{z =0} [\frac{1}{z^{2}} (\frac{1}{z})]</math>
===Definizione 1.6.5===
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Si possono in particolare verificare tre casi:
# Tutti i coefficienti <math>b_n</math> delle potenze negative di <math>z-z_0</math> sono identicamente uguali a zero.In questo caso <math>z_0</math> si dice '''singolarità
# <math>b_{n}=0</math> per <math>n>m</math> e <math>b_{m} \neq 0</math>. In questo caso <math>
#Un numero infinito di <math>b_{n}</math> sono diversi da zero.<math>z_0</math> si dice '''singolarità
In ogni intorno di una singolarità essenziale, una funzione assume un numero infinito di volte ogni possibile valore, con la possibile eccezione di un unico valore.
I teoremi sviluppati fino a qui permettono di esprimere in modo semplice integrali lungo contorni che contengano punti singolari.
Resta però il problema di calcolare il coefficiente <math>b_1</math> della serie di Laurent; un primo approccio prevede la possibilità di ricavare lo sviluppo in serie della funzione in esame a partire da sviluppi noti, ricavando cos'è in particolare il residuo; è anche possibile calcolare
Sono infine disponibili alcune formule che permettono di calcolare i residui in modo semplice in certi casi particolari.
===Teorema===
Una singolarità isolata <math>
<br/>Inoltre <math>Res_{z =z_0}f(z)=\frac{\phi^{(m-1)}(z_(z))}{(m-1)!}.</math>▼
:<math> f(z)=\frac{\phi(z)}{(z-z_(z))^{m}}</math>,
dove <math>\phi(z)</math> è analitica in <math>z_0</math>.Inoltre
;Definizione
Se due funzioni <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p(z_0)\neq 0 </math> e <math>q</math> ha in <math>z_0</math> uno zero di ordine <math>m</math>, allora <math>p(z)/q(z)</math> ha un polo di ordine <math>m</math> in <math>z_0</math>.▼
;Teorema
▲:Se due funzioni <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p(z_0)\neq 0 </math> e <math>q</math> ha in <math>z_0</math> uno zero di ordine <math>m</math>, allora <math>\frac{p(z)
;Corollario: Se <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p(z_0)\neq 0</math>. <math>q(z_0)=0</math> e <math>q'(z_0)\neq 0</math> allora <math>z_0</math> è un polo semplice e <math>Res_{z =z_0}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}
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Se due funzioni <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_0</math>, <math>p\left(z_{0}\right)\ne0</math> e <math>q</math>ha in <math>z_{0}</math> uno zero di ordine <math>m</math>, allora <math>p\left(z\right)/q\left(z\right)</math> ha un polo di ordine <math>m</math> in <math>z_{0}</math>.
;Corollario:Se <math>p</math> e <math>q</math> sono analitiche in <math>z_{0}</math>, <math>p\left(z_{0}\right)\ne0</math>. <math>q\left(z_{0}\right)=0\!</math> e <math>q'\left(z_{0}\right)\ne0</math> allora <math>z_{0}</math> è un polo semplice e <math> Res_{z=z_{0}}\frac{p(z)}{q(z)}=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}</math>
Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math> in tutto <math>D</math>.
;Corollario:Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.
;Teorema:Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math> in tutto <math>D</math>.▼
;Corollario
▲Se <math>f</math> è analitica in un dominio <math>D</math>, ed <math>E</math> è l'insieme degli zeri di <math>f</math>, se <math>E</math> ha un punto di accumulazione in <math>D</math>, <math>f(z)=0</math>in tutto <math>D</math>.
▲;Corollario.:Una funzione analitica è univocamente determinata dai suoi valori in un dominio o lungo un segmento.
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