Analisi complessa/Serie di potenze: differenze tra le versioni
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In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in <math>C</math> e le successioni in <math>R</math>.
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Una successione in <math>\C</math> è una funzione <math>\mathbb{N}\rightarrow \C</math>, che indichiamo come un insieme di valori con indice, <math>z_{n}</math>.
*Diciamo che una successione converge a <math>z</math> , o che <math>\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z</math> se
:<math>\forall\
*Una ''serie'' è una somma infinita
::<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>
:e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
::<math>s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}\qquad N\in\N</math>
===
Sia <math>z_{n}=x_{n}+
:<math>
▲:<math>[\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z \iff \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x e \lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y</math>
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}=S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=
▲In modo analogo, se <math>S=X+IY</math>, la serie
▲:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}=S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=X e \sum_{n=1}^{\infty}y_{n}=Y</math>
===Teorema sulla convergenza assoluta===
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|</math>
converge, allora converge anche
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>.
==Serie di potenze==
===Definizione 1.5.4===
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:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
===Teorema===
Se una serie di potenze
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
converge per <math>z =z_1 \neq z_0</math>
allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto
:<math>|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|\!</math>
Definendo il ''raggio di convergenza'' <math>R</math> come il
:<math>\sup|z-z_0|</math>
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:<math> S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R) </math>
===
Una serie di potenze con raggio di convergenza <math>R</math> converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio <math>R'<R</math> centrato in <math>z_0</math> , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
===
Sia <math>S(z)</math> una serie di potenze definita come sopra, e <math>C</math> un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia <math>g(z)</math> una funzione continua sul percorso <math>C</math>. Allora
:<math>\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz</math>
===
<math>S(z)</math> è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè
:<math>S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}</math>
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:<math>a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}</math>
Sia <math>f</math> una funzione analitica in un cerchio aperto <math>|z-z_0|<R</math>. Allora la serie di potenze definita come
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}</math>
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:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
converge a <math>f(z)</math> solo se i suoi coefficienti sono
:<math>a_{n}=\frac{f^{(n)}(z_0)
Sia <math>f</math> una funzione analitica in una corona circolare
:<math>R_1<|z-z_0|<R_2</math>
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Tale sviluppo è unico.
;Definizione
:Date due serie <math>\sum a_{n}</math> e <math>\sum b_{n}</math> è possibile definire il '''prodotto di Cauchy''' delle due serie come
:<math> \sum_{n} c_{n} \,</math>
con <math>c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}</math>.
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Se <math>f</math> e <math>g</math> sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno
di due cerchi
:<math>|z-z_f|<R_f\!</math>
e
:<math>|z-z_g|<R_g\!</math>
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge
al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi
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