Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni

 

Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come

in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.

 

:<math>\int_{a}^{b}w(t)dt=z(b)-z(a)</math>

Inoltre vale la disuguaglianza

Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei '''percorsi''' di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in <math>C</math>, definibili come

:<math>z(t)=x(t)+I y(t)\!</math>;

 

 

===Teorema (di Jordan)===

::<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt</math>

 

La definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica <math>\tilde{z}(\tau)=z(\phi(\tau))</math> dove <math>\phi (\tau ) : [\alpha,\beta] \rightarrow R</math> è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca <math>[\alpha,\beta]</math> su <math>[a,b]</math>,

:<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt=\int_{\alpha}^{\beta}|\tilde{z}'(\tau)|d\tau</math>

 

Abbiamo ora gli strumenti necessari per introdurre una definizione conveniente di integrale per una funzione di variabile complessa a valori complessi, lungo un percorso di integrazione <math>C</math> rappresentato da una curva parametrica in <math>C</math>.

 

::<math>C=\bigcup z_i (t),\quad z_i(t):[a_i,b_i]\rightarrow C,a_i=b(i-1),z_i (b_i)=z(i+1) (a(i+1))</math>

:Sia <math>f:\Omega\rightarrow \mathbb{C}</math> una funzione continua. Definiamo

 

Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso <math>C</math> come "somma di due percorsi" <math>C_1</math>

e <math>C_2</math> (tali che <math>z_1:[a,c]\rightarrow C</math>, <math>z_2:[c,b]\rightarrow C</math> e <math>z_1(c)=z_2(c)</math>)

e che se consideriamo il percorso <math>-C</math> identico al percorso <math>C</math> ma con verso di percorrenza opposto,

Vale la disuguaglianza

:<math>\left|\int_{C} f(z)dz\right| \leq ML</math>

dove <math>M</math> è il massimo valore di <math>|f(z)|</math> assunto dalla funzione lungo il percorso, e <math>L</math> la lunghezza del percorso.

 

;Definizione

:Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in <math>R^{2}</math>; infatti è possibile usare una definizione di '''antiderivata''', che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.

Si dice '''antiderivata''' di una funzione <math>f:D\subseteq C \rightarrow C</math> continua una funzione <math>F</math> tale che <math>F'(z)=f(z)</math> in tutto il dominio <math>D</math>. L'antiderivata è unica a meno di una costante additiva.

 

Sia <math>f</math> una funzione continua su un dominio <math>D</math>. Allora ognuna di queste proprietà implica le altre due:

*<math>f</math> ha antiderivata <math>F</math> in <math>D</math>

*l'integrale di <math>f</math> lungo contorni interamente contenuti in <math>D</math> dipende solo dai punti iniziali e finali del contorno

:Se <math>Q(x,y)</math> <math>P(x,y)</math> e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno <math>C</math> e sulla regione interna <math>R</math>, allora

:<math>\int_{C}Pdx+Qdy=\iint_{R}(Q_x-P_y)dA</math>

 

;Definizione

È un'immediata conseguenza del '''teorema di Cauchy-Goursat''' che:

:Se una funzione <math>f</math> è analitica in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>, <math>int_{C}f(z)dz =0</math> per ogni cammino semplice chiuso <math>C</math> contenuto in <math>D</math>.

 

;Corollario

 

Consideriamo <math>f</math> analitica in un dominio <math>D</math> molteplicemente connesso. Sia <math>C</math> un cammino semplice chiuso in <math>D</math> percorso in senso antiorario, e <math>C_{k}:(k=1\ldots n)</math> cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di <math>C</math>, percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di <math>C</math> in cui <math>f</math> non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei <math>C_{k}</math>. Allora

 

;Corollario

:Se <math>C_1</math> e <math>C_2</math> sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di <math>C_2</math> è interamente contenuto nell'interno di <math>C_1</math> , e se una funzione <math>f</math> è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora

:<math>\int_{C_1}f(z)dz =\int_{C_2}f(z)dz.</math>

 

Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno e sul bordo di un contorno semplice chiuso <math>C</math>, percorso in senso positivo (antiorario), per ogni punto <math>z_0</math> interno al contorno stesso

 

Inoltre tutte le derivate della funzione sono analitiche all'interno del contorno, e

 

;Corollario

 

Se una funzione è continua in un dominio <math>D</math> e

per ogni cammino semplice chiuso contenuto in <math>D</math>, <math>f</math> è analitica in math>D</math>.

 

:Se <math>f</math> è intera e limitata nel piano complesso, allora <math>f(z)</math> è costante su tutto il piano.

 

:Ogni polinomio

::<math>P_{N}(z)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}z^{n}</math>

:<math>P_{N}(z)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}z^{n}=c\prod_{n=1}^{N}(z-z_{n})</math>

 

è analitica in un dominio <math>D</math> e non è costante, allora non ha massimo modulo in <math>D</math>.