Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math>
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(
:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+
dove
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
:<math>z \in \mathbb{C}=x+
definiamo:
*il '''coniugato'''
::<math>\bar{z}=x-
*la '''parte reale'''
::<math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
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Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
Si può quindi scrivere <math>z \in \mathbb{C}</math> come
:<math>z =\rho(\cos\theta+
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' '''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>.
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Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{
==Proprietà==
;Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+
#<math>\rho_1=|z_1| \,</math>
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
#<math>z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{
#<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{
#<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{
#<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{
Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
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