Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Numeri complessi"

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(wikifico)
::<math>(x_1,y_1)(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_2y_1+x_1y_2) \,</math>
 
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(Xx,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
:<math>(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+Iyiy\,</math>
 
dove Ii: = (0,1).
 
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
:<math>z \in \mathbb{C}=x+Iyiy=(x,y)</math>
definiamo:
*il '''coniugato'''
::<math>\bar{z}=x-I yiy</math></center>
*la '''parte reale'''
::<math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
Si può quindi scrivere <math>z \in \mathbb{C}</math> come
:<math>z =\rho(\cos\theta+Ii\sin\theta) \,</math>
 
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' '''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>.
 
Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {Ii \theta }= \cos \theta + Ii \sin \theta\!</math>
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{Ii\theta}\!</math>
 
==Proprietà==
;Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1iy_1=\rho_1 e^{Ii\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2iy_2=\rho_2 e^{Ii\theta_1}</math>
#<math>\rho_1=|z_1| \,</math>
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
#<math>z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{Ii(\theta_1+\theta_2)}</math>
#<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{Ii(\theta_1-\theta_2)}</math>
#<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{Ii n\theta_1} \qquad n \in \Z</math>
#<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{Ii(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
 
Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
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