Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
→‎Gli spazi l_p: correzione incongruenze notazionali.
Ramac (discussione | contributi)
m fix
Riga 33:
;Teorema
:Siano <math>x,y\in X</math>, dove ''X'' è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
<center>::<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)\!</math> (identità del parallelogramma)</center>
 
''';Dimostrazione'''
:Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:<br></br>
::<math>||x+y||^2 = <x+y,x+y> = <x,x+y>+<y,x+y> = \overline{<x+y,x>}+\overline{<x+y,y>}</math>
:mentre
::<math>||x-y||^2 = <x-y,x-y> = <x,x+y>-<y,x+y> = \overline{<x-y,x>}+\overline{<x-y,y>}</math>
:pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
::<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2<x,x>+2<y,y> = 2||x||^2+2||y||^2 = 2(||x||+||y||)\!</math>
:Che è quello che si voleva dimostrare.
 
==Gli spazi <math>l_p</math>==
Riga 50:
;Definizione
:Indicheremo con <math>l_p</math> l'insieme delle successioni '''p-sommabili''', formalmente
<center>::<math>l_p:=\{\tilde {x}=\{\xi_j\}_{j\in \mathbb{N}} | \sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p <+\infty\}</math></center>
inIn pratica, fissato numero naturale ''p'', <math>l_p</math> è costituito da tutte quelle successioni i cui termini, in valore assoluto e elevati alla p-esima, costituiscono una serie convergente. Su uno spazio siffatto la norma è definita come:
 
*<math>||x||_p:=(\sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p)^{\frac{1}{p}}</math>