Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni
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→Gli spazi l_p: correzione incongruenze notazionali. |
m fix |
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;Teorema
:Siano <math>x,y\in X</math>, dove ''X'' è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
:Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:<
::<math>||x+y||^2 = <x+y,x+y> = <x,x+y>+<y,x+y> = \overline{<x+y,x>}+\overline{<x+y,y>}</math>
:mentre
::<math>||x-y||^2 = <x-y,x-y> = <x,x+y>-<y,x+y> = \overline{<x-y,x>}+\overline{<x-y,y>}</math>
:pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
::<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2<x,x>+2<y,y> = 2||x||^2+2||y||^2 = 2(||x||+||y||)\!</math>
:Che è quello che si voleva dimostrare.
==Gli spazi <math>l_p</math>==
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;Definizione
:Indicheremo con <math>l_p</math> l'insieme delle successioni '''p-sommabili''', formalmente
*<math>||x||_p:=(\sum_{j=1}^\infty |\xi_j|^p)^{\frac{1}{p}}</math>
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