Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni
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:<math>\int_{a}^{b}w(t)dt=z(b)-z(a)</math>
Inoltre vale la disuguaglianza
:<math>\left|\int_{a}^{b}w(t)dt\right| \leq\ \left|\int_{a}^{b}
==Definizione==
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:<math>z(t)=x(t)+I y(t)\!</math>;
un arco di curva
:<math>z(t_1)=z(t_2)\iff t_1=t_2\!</math>
(la curva non ha ''autointersezioni''), e '''chiuso''' se
:<math>z(a)=z(b)</math>
Si dice '''regolare''' se
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Ogni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una limitata (interno) ed una non limitata (esterno).
;Definizione
:Per ogni arco di curva semplice e regolare <math>z(t)</math> è possibile definirne la ''lunghezza'' come l'integrale
::<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt</math>
La definizione di lunghezza appena data è indipendente dalla parametrizzazione; considerando la curva parametrica <math>\tilde{z}(\tau)=z(\phi(\tau))</math> dove <math>\phi (\tau ) : [\alpha,\beta] \rightarrow R</math> è una funzione con derivata continua mai uguale a zero (in modo da garantire che mappi in maniera biunivoca <math>[\alpha,\beta]</math> su <math>[a,b]</math>,
:<math>L=\int_{a}^{b}|z'(t)|dt=\int_{\alpha}^{\beta}|\tilde{z}'(\tau)|d\tau</math>
===Integrali di contorno===
Abbiamo ora gli strumenti necessari per introdurre una definizione conveniente di integrale per una funzione di variabile complessa a valori complessi, lungo un percorso di integrazione <math>C</math> rappresentato da una curva parametrica in <math>C</math>.
:Sia <math>C</math>una curva regolare a tratti con supporto contenuto in un insieme aperto <math>\Omega</math>,
::<math>C=\bigcup z_i (t),\quad z_i(t):[a_i,b_i]\rightarrow C,a_i=b(i-1),z_i (b_i)=z(i+1) (a(i+1))</math>
:Sia <math>f:\Omega\rightarrow \mathbb{C}</math> una funzione continua. Definiamo
::<math>int_{C
Segue da questa definizione che se possiamo scomporre il percorso <math>C</math> come "somma di due percorsi" <math>C_1</math>
e <math>C_2</math> (tali che <math>z_1:[a,c]\rightarrow C</math>, <math>z_2:[c,b]\rightarrow C</math> e <math>z_1(c)=z_2(c)</math>)
:<math>int_{C}f(z)dz =\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz</math>
e che se consideriamo il percorso <math>-C</math> identico al percorso <math>C</math> ma con verso di percorrenza opposto,
:<math>int _{- C} f(z)dz =- \int _{C} f(z)dz \,</math>
Vale la disuguaglianza
:<math>\left|\int_{C} f(z)dz\right| \leq ML</math>
dove <math>M</math> è il massimo valore di <math>|f(z)|</math> assunto dalla funzione lungo il percorso, e <math>L</math> la lunghezza del percorso.
:Esiste una correlazione stretta tra gli integrali di contorno nel campo complesso e quelli in <math>R^{2}</math>; infatti è possibile usare una definizione di '''antiderivata''', che svolge una funzione analoga al potenziale nel caso reale.
Si dice '''antiderivata''' di una funzione <math>f:D\subseteq C \rightarrow C</math> continua una funzione <math>F</math> tale che <math>F'(z)=f(z)</math> in tutto il dominio <math>D</math>. L'antiderivata è unica a meno di una costante additiva.
Sia <math>f</math> una funzione continua su un dominio <math>D</math>. Allora ognuna di queste proprietà implica le altre due:
*<math>f</math> ha antiderivata <math>F</math> in <math>D</math>
*l'integrale di <math>f</math> lungo contorni interamente contenuti in <math>D</math> dipende solo dai punti iniziali e finali del contorno
*l'integrale di <math>f</math> lungo ogni contorno chiuso interamente contenuto in <math>D</math> è nullo. (di Cauchy-Goursat)
Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno e sui punti di un cammino semplice chiuso <math>C</math>, allora <math>int_{C}f(z)dz =0</math>. Questo teorema può essere provato facilmente, sotto ipotesi leggermente più forti (supponendo anche la continuità di <math>f'</math>), ricorrendo al '''Teorema di Green''':
:Se <math>Q(x,y)</math> <math>P(x,y)</math> e le loro derivate parziali sono continue su di un contorno <math>C</math> e sulla regione interna <math>R</math>, allora
:<math>\int_{C}Pdx+Qdy=\iint_{R}(Q_x-P_y)dA</math>
;Definizione
:Un dominio si dice '''semplicemente connesso''' se ogni contorno semplice chiuso contenuto in <math>D</math> ha interno interamente contenuto in <math>D</math>.
:Un dominio che non sia semplicemente connesso si dice '''molteplicemente connesso'''.
È un'immediata conseguenza del '''teorema di Cauchy-Goursat''' che:
:Se una funzione <math>f</math> è analitica in un dominio semplicemente connesso <math>D</math>, <math>int_{C}f(z)dz =0</math> per ogni cammino semplice chiuso <math>C</math> contenuto in <math>D</math>.
;Corollario
:Una funzione analitica su un dominio semplicemente connesso ammette antiderivata in quel dominio. Dominio molteplicemente connesso, e percorsi di integrazione per il teorema
Consideriamo <math>f</math> analitica in un dominio <math>D</math> molteplicemente connesso. Sia <math>C</math> un cammino semplice chiuso in <math>D</math> percorso in senso antiorario, e <math>C_{k}:(k=1\ldots n)</math> cammini semplici chiusi interamente contenuti interno di <math>C</math>, percorsi in senso orario, i cui interni non abbiano punti in comune, e tali che tutti i punti dell'interno di <math>C</math> in cui <math>f</math> non è analitica siano contenuti all'interno di uno dei <math>C_{k}</math>. Allora
:<math>\int_{C}f(z)dz+\sum_{k}\int_{C_{k}}f(x)dz =0]</math>
;Corollario
:Se <math>C_1</math> e <math>C_2</math> sono due cammini semplici chiusi percorsi nello stesso verso, per i quali l'interno di <math>C_2</math> è interamente contenuto nell'interno di <math>C_1</math> , e se una funzione <math>f</math> è analitica nella regione chiusa compresa tra i due contorni, allora
:<math>\int_{C_1}f(z)dz =\int_{C_2}f(z)dz.</math>
(Teorema di rappresentazione di Cauchy)
Se una funzione <math>f</math> è analitica all'interno e sul bordo di un contorno semplice chiuso <math>C</math>, percorso in senso positivo (antiorario), per ogni punto <math>z_0</math> interno al contorno stesso
:<math>f(z_0)=\frac{1}{2 \pi I }\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz.</math>
Inoltre tutte le derivate della funzione sono analitiche all'interno del contorno, e
:<math>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2 \pi I}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</math>
;Corollario
:Se una funzione è analitica in un punto <math>z =x+I y</math>, le sue componenti <math>u(x,y)</math> e <math>v(x,y)</math> hanno derivate parziali continue di ogni ordine in <math>(x,y)</math>.
(Teorema di Morera)
Se una funzione è continua in un dominio <math>D</math> e
:<math>\int_{C}f(z)dz =0</math>
per ogni cammino semplice chiuso contenuto in <math>D</math>, <math>f</math> è analitica in math>D</math>.
:Se <math>f</math> è intera e limitata nel piano complesso, allora <math>f(z)</math> è costante su tutto il piano.
;Teorema fondamentale dell'algebra
:Ogni polinomio
::<math>P_{N}(z)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}z^{n}</math>
:di ordine <math>N>0</math> ha almeno uno zero.
;Corollario
:Un polinomio di grado <math>N>0</math> può essere fattorizzato come un prodotto di <math>n</math> termini lineari
:<math>P_{N}(z)=\sum_{n=0}^{N}a_{n}z^{n}=c\prod_{n=1}^{N}(z-z_{n})</math>
Se <math>f</math> è analitica in un intorno <math>|z-z_0|<\epsilon</math> di un punto <math>z_0</math>, e
:<math>|f(z)| \leq |f(z_0)|</math>
per ogni punto <math>z</math> appartenente all'intorno, allora <math>f(z)=f(z_0)</math> in tutto l'intorno. Se <math>f</math>
è analitica in un dominio <math>D</math> e non è costante, allora non ha massimo modulo in <math>D</math>.
;Corollario
:Se <math>f</math> è continua su una regione chiusa e limitata, ed e' analitica e non costante all'interno della regione stessa, allora il massimo modulo di math>|f(z)|</math> si registra sul bordo della regione, e mai all'interno.
[[Categoria:Analisi complessa|Integrali nel campo Complesso]]
{{Avanzamento|75%|14 febbraio 2009}}
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