Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
==Integrale==
Occorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso. Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile reale con valori complessi,
:<math>w(t)=u(t)+
Definiamo la derivata di tale funzione come
:<math>w'(t)=u'(t)+
per la quale valgano formalmente le stesse regole di derivazione del caso a valori reali.
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in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione del caso reale.
===Teorema fondamentale del calcolo===
Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni <math>u</math> e <math>v</math> sono continue a tratti, e vale il teorema fondamentale del calcolo integrale:
:<math>\int_{a}^{b}w(t)dt=z(b)-z(a)</math>
Inoltre vale la disuguaglianza
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==Definizione==
Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei '''percorsi''' di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili. Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in <math>C</math>, definibili come ▼
:<math>z(t)=x(t)+I y(t)\!</math>; ▼
▲Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei '''percorsi''' di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili.Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in <math>C</math>, definibili come
▲:<math>z(t)=x(t)+I y(t)</math>;
un arco di curva e' un tratto con <math>z</math> definita per <math>t \in [a,b] \subseteq R</math>, continua; si dice '''semplice''' se
:<math>z(t_1)=z(t_2)\iff t_1=t_2\!</math>
(la curva non ha autointersezioni), e '''chiuso''' se
:<math>z(a)=z(b)</math>
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