Analisi complessa/Derivate: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
==Definizione==
La definizione di '''derivata''' per una funzione a variabile complessa ricorda formalmente quella per le funzioni reali.
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#<math>f+g\!</math> è derivabile e inoltre <math>(f+g)'(z_0)=f'(z_0)+g'(z_0)\!</math>
#<math>fg\!</math> è derivabile e <math>(fg)'(z_0)=f'(z_0)g(z_0)+f(z_0)g'(z_0)\!</math>
#<math>\frac{1}{f}</math> è derivabile se <math>f(z_0)\ne 0</math> e <math>\left(\frac{1}{f}\right)'(z_0)=-\frac{f'(z)}{f(z)^2}</math>
#<math>(z^n)'=nz^{n-1}\!</math>
# se <math>f:A\subseteq\C\rightarrow \C, g: f(A)\rightarrow\C</math>, <math>f</math> derivabile in <math>z_0\in A</math> e <math>g</math> è derivabile in <math>f(z_0)</math> allora:
:::<math>(f\circ g)(z_0)=g'(f(z_0))f'(z_0)</math>
==Teorema 1.2.11==
Sia <math>f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \,</math>, condizione necessaria perchè <math>f</math> sia differenziabile in <math>z_0</math> è che valgano le '''condizioni di Cauchy-Riemann''':
:<math>u_x=v_y\qquad u_y=-v_x</math>
Se inoltre <math>u</math> e <math>v</math> hanno derivate in un intorno di <math>z_0</math> e tali derivate sono continue in <math>z_0</math>, allora le condizioni sopra citate sono anche sufficienti, ed esiste la derivata <math>f'(z_0)=u_x+iv_x</math>
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==Funzioni analitiche==
;Definizione
:Una funzione è '''analitica''' o '''olomorfa''' in un insieme aperto se ha derivata in ogni punto di tale insieme. Diremo che è analitica in un punto <math>z_0</math>, e che è '''intera''' se è analitica su tutto <math>\C</math>. Se <math>f</math> non è derivabile in <math>z_0</math>, ma è derivabile in qualche punto di ogni intorno di <math>z_0</math> diremo che <math>z_0</math> è una '''singolarità'''. Se esiste un intorno di <math>z_0</math> tale che <math>f</math> sia derivabile in tutto l'intorno tranne che in <math>z_0</math> diremo che <math>z_0</math> è una '''singolarità isolata'''.
* Si definisce '''dominio''' un insieme D aperto connesso, che possa cioè essere espresso come unione di due aperti disgiunti non vuoti. Si può dimostrare che esiste sempre una poligonale composta da un numero finito di segmenti che unisce qualsiasi coppia di punti contenuti in un dominio.
[[Categoria:Analisi complessa]]
{{Avanzamento|50%|14 febbraio 2009}}
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