Analisi complessa/Funzioni elementari: differenze tra le versioni

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{{analisi complessa}}
Definiremo ora una serie di '''funzioni''' sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per <math>z = 0</math> rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.
 
Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.
 
==Esponenziale==
:La '''funzione esponenziale''' sul campo complesso <math>e^z</math> è definita come
::<math>e^z = e^x (\cos y + i \sin y) = e^x e^{iy} \,</math>
:ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale,
::<math>e^{z1+z2} = e^{z1}e^{z2} \,</math>
::<math>(e^z)^n = e^{nz} \,</math>
 
Inoltre <math>e^z</math> è periodica con periodo 2''i'': <math>e^{z+2ik} = e^z</math>.
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==Funzioni trigonometriche ed iperboliche==
===Seno e coseno===
:Le '''funzioni trigonometriche''' si definiscono a partire dall'esponenziale, come:
::<math>\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\qquad\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{iz}}{2}</math>;
:sono analitiche ed hanno rispettivamente derivate
::<math>(\sin{z})'=\cos{z}\!\qquad(\cos{z})'=-\sin{z}\!</math>.
:Valgono le formule di ''addizione'', ''duplicazione'', ''prostaferesi'' formalmente uguali a quelle del campo reale.
 
'''Osservazione''': Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.
===Funzioni iperboliche===
:Le '''funzioni iperboliche''' sono definite da:
::<math>\sinh{z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\qquad \cosh{z}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}</math>
 
:Le rispetiverispettive derivate sono:
::<math>(\sinh{z})'=\cosh{z}\qquad (\cosh{z})'=\sinh{z}</math>;
:oltre alle solite relazioni valide sul campo reale, si hanno
:*<math>-i \sinh{iz}=\sin{z}\!</math>
:*<math>\cosh{iz}=\cos{z}\!</math>
:*<math>-i\sin{iz}=sinh{z}\!</math>
:*<math>\cos{iz}=cosh{z}\!</math>
Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.
== Logaritmo ==
Definiamo la funzione '''logaritmo''' come la soluzione <math>w</math> dell'equazione <math>e^w = z</math>.
 
Scrivendo <math>z = \mathcal{j} z \mathcal{j} e^{i \arg z}</math> è chiaro come esistano più soluzioni, della forma
:<math> \log z = ln \mathcal{j}z \mathcal{j} + i (\arg z + 2k \pi ) ; k\in\mathbb{Z}</math>
Ciascuna delle soluzioni, con ''k'' fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su C tranne che nell'origine e lungo un raggio (''branch cucut''t), ed ha derivata
:<math>(\log z)' = \frac{1}{z}</math>.
==Potenze con esponenti complessi==
:Per <math>z\ne0</math> e <math>c\in\mathbb{C}</math> definiamo
::<math>z^c=e^{c\log{z}}\!</math>.
:Tale funzione coincide, per <math>c\in\mathbb{N}</math>, con i valori di <math>z^n</math> definiti sulla base delle proprietà algebriche dei numeri complessi; in generale è però una funzione a molti valori, con branche che corrispondono alla branca scelta per la funzione logaritmo,
::<math> \log{z}=\ln{|z|}+i \arg{z}\quad (\alpha<\arg{z}<\alpha+2\pi)</math>.
:<math>z^c</math> è analitica nel dominio in cui è analitica la funzione logaritmo, e ha derivata:
::<math>(z^c)'= cx^{c-1}\!</math>
 
===Funzione esponenziale con base ''c''===
:La '''funzione esponenzileesponenziale''' con base ''c'' si definisce come
 
::<math>c^{z}=e^{z}\log{c}\!</math>
:La funzione esponenzile con base ''c'' si definisce come
:ed è una funzione intera qunado venga scelta una qualsiasi branca di <math>\log{c}</math> ed ha derivata:
::<math>c^{z}=e^{z}\log{c}\!</math>
::<math>(c^{z})'=c^z \log{c}\!</math>
:ed è una funzione intera qunado venga scelta una qualsiasi branca di <math>\log{c}</math> ed ha derivata:
::<math>(c^{z})'=c^z \log{c}\!</math>
 
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