Analisi complessa/Funzioni elementari: differenze tra le versioni
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Definiremo ora una serie di '''funzioni''' sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per <math>z = 0</math> rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.
Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.
==Esponenziale==
Inoltre <math>e^z</math> è periodica con periodo 2''i'': <math>e^{z+2ik} = e^z</math>.
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==Funzioni trigonometriche ed iperboliche==
===Seno e coseno===
'''Osservazione''': Le funzioni Tangente, cotangente, secante e cosecante sono definite come nel caso reale.
===Funzioni iperboliche===
:Le
Queste relazioni legano le funzioni trigonometriche ed iperboliche sul campo complesso.
== Logaritmo ==
Definiamo la funzione '''logaritmo''' come la soluzione <math>w</math> dell'equazione <math>e^w = z</math>.
Scrivendo <math>z = \mathcal{j} z \mathcal{j} e^{i \arg z}</math> è chiaro come esistano più soluzioni, della forma
:<math> \log z = ln \mathcal{j}z \mathcal{j} + i (\arg z + 2k \pi ) ; k\in\mathbb{Z}</math>
Ciascuna delle soluzioni, con ''k'' fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su C tranne che nell'origine e lungo un raggio (''branch
:<math>(\log z)' = \frac{1}{z}</math>.
==Potenze con esponenti complessi==
===Funzione esponenziale con base ''c''===
▲:La funzione esponenzile con base ''c'' si definisce come
▲::<math>c^{z}=e^{z}\log{c}\!</math>
▲:ed è una funzione intera qunado venga scelta una qualsiasi branca di <math>\log{c}</math> ed ha derivata:
▲::<math>(c^{z})'=c^z \log{c}\!</math>
[[Categoria:analisi complessa|Funzioni elementari]]
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