Analisi complessa/Funzioni di variabile complessa: differenze tra le versioni
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{{Analisi complessa}}
;Definizione
:<math>f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>▼
:Una funzione di variabile complessa è una funzione
dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.▼
▲::<math>f:S \subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>
▲:dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
;Osservazioni
:Sia <math>\Phi
::<math>\Phi:z =x+I y \mapsto \mathbf{w}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}</math>
*Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
:<math>f:S\subseteq \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>
:come somma di due funzioni <math>\Phi(S)\subseteq\R^{2}\rightarrow \R</math>
::<math>
==Limiti==
:<math>f(z=x+Iy)=u(x,y)+I v(x,y) \,</math>▼
*I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di <math>\mathbb{C}</math>; scriviamo ▼
::<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=w \iff \forall\
▲I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di
*I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un ''intorno'' di <math>\infty</math> come <math>|z|>\frac{1
▲:<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=w \iff \forall\epsilon>0 : \exists \delta : |z-z_0| <\delta\Rightarrow|f(z)-w|<\epsilon</math>
::<math>\lim_{z
▲I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un ''intorno'' di <math>\infty</math> come <math>|z|>1 \exists \epsilon :\epsilon>0</math>
::<math>\lim_{z \to
▲:<math>\lim_{z \to z_0}f(z)=\infty \iff\forall\epsilon>0:\exists\delta:|z-z_0|<\delta\Rightarrow |f(z)|>\frac{1}{\epsilon}</math>
===TEOREMA 1.2.3===▼
Considerando ▼
:<math>z_0=x_0+I y_0</math>▼
:<math>w_0=u_0+I y_0</math>▼
:<math>\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0</math>▼
:<math>\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0}u(x,y)=u_0\qquad</math> e <math>\qquad \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0),y_0}v(x,y)=v_0</math>▼
==Teoremi sui limiti==
===Teorema 1.2.2===
▲:Considerando
▲::<math>z_0=x_0+I y_0\!</math>
▲::<math>w_0=u_0+I y_0\!</math>
:si ha che:
▲::<math>\lim_{z\to z_0}f(z)=w_0\iff\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}u(x,y)=u_0\qquad</math> e <math>\qquad \lim_{(x,y)\rightarrow(x_0
Se
:allora :#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)+g(z)]=f_0+g_0</math>
:#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)g(z)]=f_0g_0</math>
:#<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0</math>▼
==Continuità==
;Definizione
Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico
:*Una funzione <math>f(z)</math> è continua in <math>z_0</math> se ▼
:sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.▼
:*Una funzione si dice continua in un insieme se e' continua per ogni punto di quell'insieme.▼
▲:<math>\lim_{z\to z_0}[f(z)/g(z)]=f_0/g_0</math>
==Teoremi sulla continuità==
▲:<math>h_0\neq0</math>
▲Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico: una funzione <math>f(z)</math>
▲è continua in <math>z_0</math> se
▲sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.
▲Una funzione si dice continua in un insieme se e' continua per ogni punto di quell'insieme.
▲===TEOREMA 1.2.5===
Una funzione <math>f(z)</math> è continua se e solo se le sue componenti <math>u</math> e <math>v</math> sono continue.
===
La funzione composta da due funzioni continue e' continua.
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Una funzione continua su un insieme <math>A</math> chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di <math>A</math>.
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