Analisi complessa/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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;Definizione 1.1.1.
:Definiamo l'insieme dei numeri complessi <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come
::<math>(
::<math>(
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
:<math>(
dove
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero
:<math>z \in \mathbb{C}=x+
definiamo:
*il '''coniugato'''
*la '''parte reale'''
*la '''parte immaginaria'''
*il '''modulo'''
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
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Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {I \theta }= \cos \theta + I \sin \theta\!</math>
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{I\theta}\!</math>
==TEOREMA 1.1.2.==
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:<math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math>▼
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
▲:<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{I(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
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