Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Numeri complessi"

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;Definizione 1.1.1.
:Definiamo l'insieme dei numeri complessi <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come
::<math>(X_1x_1,Y_1y_1)+(X_2x_2,Y_2y_2)=(X_1x_1+X_2x_2,Y_1y_1+Y_2y_2) \,</math>
::<math>(X_1x_1,Y_1y_1)(X_2x_2,Y_2y_2)=(X_1X_2x_1x_2-Y_1Y_2y_1y_2,X_2Y_1x_2y_1+X_1Y_2x_1y_2) \,</math>
 
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
:<math>(Xx,Yy)=(Xx,0)+(0,1)(Yy,0)=Xx+IYIu\,</math>
 
dove 1I: = (0,1).
 
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero
:<math>z \in \mathbb{C}=x+I yIy=(x,y)</math>
definiamo:
*il '''coniugato'''
*::<math>\bar{z}=x-I y</math></center>
*la '''parte reale'''
*::<math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
*la '''parte immaginaria'''
*::<math>Im\, z =y=(z-\bar{z})/2</math>
*il '''modulo'''
*::<math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}</math>
 
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
 
Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {I \theta }= \cos \theta + I \sin \theta\!</math>
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{I\theta}\!</math>
 
==TEOREMA 1.1.2.==
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>, con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math> e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:<math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math>
:<math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:#<math>\rho_1=|z_1| \,</math>
#<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
 
:#<math>|z_1+z_2|z_1z_2=\rho_1 \leqrho_2 |z_1|e^{I(\theta_1+|z_2|\theta_2)}</math>
:#<math>z_1=x_1+Iy_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{I(\theta_1-\theta_2)}</math>
:#<math>z_1z_2z_1^{n}=\rho_1 \rho_2^{n} e^{I( n\theta_1+\theta_2)} \qquad n \in \Z</math>
:#<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{I(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
:<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{I(\theta_1-\theta_2)}</math>
:<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{I n\theta_1} \qquad n \in \Z</math>
 
:<math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{I(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
 
Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
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