Analisi complessa/Operatori lineari in H: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Operatore lineare==
 
'''Definizione 2.7.1'''
 
Definiamo <math>\mathcal{L}(H)</math> l'insieme degli operatori lineari di uno spazio di Hilbert <math>H</math> in se stesso, <math> \mathcal{L}(H)=\{ L:H\rightarrow H ; x,y \in H, \quad\alpha,\beta \in C \Rightarrow L(\alpha x + \beta y)=\alpha Lx + \beta Ly\}
</math>.
 
Un operatore lineare si dice
*'''continuo'''
:se <math> \forall x_0 \in H ,\forall\epsilon>0: \exists\delta<>0:\Vert x-x_0 \Vert <\delta\Rightarrow \Vert Lx-Lx_0 \Vert < \epsilon ;</math>
 
Lx-Lx_0 \Vert < \epsilon ;</math>
si dice '''limitato''' se <math>\exists k>0:\forall x \in H \Vert Lx \Vert < k \Vert x \Vert </math> .
*'''limitato''' se
si dice '''limitato''' se :<math>\exists k>0:\forall x \in H \Vert Lx \Vert < k \Vert x \Vert </math> .
 
Per un operatore <math>L \in \mathcal{L}(H)</math>le seguenti affermazioni sono equivalenti:
 
:*<math>L</math> e' continuo in <math>0</math>;
<math>0</math>;
 
:*<math>L</math> e' continuo in tutto <math>H</math>;
<math>H</math>;
 
:*<math>L</math> e' limitato <math>\forall {x_n} :x_n \rightarrow \bar{x} \Rightarrow Lx_n\rightarrow L \bar{x}</math>
<math>\forall {x_n} :x_(n) \rightarrow \bar(x) \Rightarrow Lx_(n)\rightarrow L \bar(x)</math>
 
=Norme di operatori=