Wikibooks

Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni

Naviga nella cronologia in modo interattivo
← Differenza precedenteDifferenza successiva →
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
VisualeWikitesto
Nessun oggetto della modifica
Ramac (discussione | contributi)
8 469 modifiche
m fix
Riga 58:
:<math>\tilde{x}:=(1,1,0,...)</math>
:<math>\tilde{y}:=(1,-1,0,...)</math>
E'È chiaro che sia <math>\tilde{x}</math> che <math>\tilde{y}</math> appartengono a <math>l_p\quad\forall p \in \mathbb{N}\setminus{\{0\}}</math>.
Al fine di rendere più semplice la spiegazione, verranno eseguite le espansioni di ciascun termine che interviene nell'uguaglianza del parallelogramma:
 
Riga 68:
:<math> 8=||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)=2(2^\frac{2}{p}+2^\frac{2}{p})</math>
L'uguaglianza sussiste se e solo se:
<center>:<math>2(2^\frac{2}{p}+2^\frac{2}{p})=8\iff 2^{\frac{2+p}{p}}+2^{\frac{2+p}{p}}=8\iff 2^{\frac{2-p}{p}}=1</math></center>
 
Risolvendo l'equazione in ''p'', si ottiene che <math>2-p=0</math> e quindi <math>p=2</math>.
 
Ciò significa che gli spazi <math>l_p</math>, con <math>p\neq 2</math> non sono spazi di Hilbert, mentre <math>l_2</math> lo è. Da questo esempio si ottiene anche un' ulteriore informazione fondamentale. E'È possibile dimostrare che gli spazi <math>l_p\quad \forall p\in\mathbb{N}</math> sono di Banach, mentre abbiamo visto che non sono spazi di Hilbert eccetto per <math>p=2</math>, da ciò si evince che gli spazi di Hilbert sono una classe propria degli spazi di Banach.
 
[[Categoria:Analisi complessa|Prodotto scalare e spazi di Hilbert]]
{{Avanzamento|75%|10 febbraio 2009}}
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Analisi_complessa/Prodotto_scalare_e_spazi_di_Hilbert"