Analisi complessa/Norma e spazi di Banach: differenze tra le versioni

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'''Definizione 2.4.1.'''
Una '''norma''' e' un'applicazione <math>\Vert \cdot \Vert </math> sullo spazio vettoriale <math>V</math> (rispetto al campo
<math>\mathbb{K}</math> reale o complesso) che ha le seguenti proprieta' : siasiano
<math>\Vert \cdot \Vert </math>
<math>\mathbf({x)},\mathbf{y}\in V</math> e <math>\lambda\in \mathbb{K}</math>
sullo spazio vettoriale
<math>V</math>
(rispetto al campo
<math>C</math>
reale o complesso) che ha le seguenti proprieta' : sia
<math>\mathbf(x),\mathbf{y}\in V</math>
e
<math>\lambda\in C</math>
 
:(1)#<math>\Vert \mathbf({x)} \Vert \ge0</math>
:(2)#<math>\Vert \mathbf({x)} \Vert =0 \iff \mathbf({x)}=\mathbf{0}</math>
:(3)#<math>\Vert \lambda \mathbf({x)} \Vert =|\lambda|\Vert \mathbf({x)} \Vert </math>
:(4)#<math>\Vert \mathbf({x)}+\mathbf{y} \Vert \leq \Vert \mathbf({x)} \Vert +\Vert \mathbf({y)} \Vert </math>
 
:(2)<math>\Vert \mathbf(x) \Vert =0 \iff \mathbf(x)=\mathbf{0}</math>
 
'''TEOREMATeorema 2.4.2.'''
:(3)<math>\Vert \lambda \mathbf(x) \Vert =|\lambda|\Vert \mathbf(x) \Vert </math>
 
:Una norma permette di definire una funzione
:(4)<math>\Vert \mathbf(x)+\mathbf{y} \Vert \leq \Vert \mathbf(x) \Vert +\Vert \mathbf(y) \Vert </math>
::<math>d_{\Vert \cdot \Vert }:V^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math>,
 
::<math>d_{\Vert \cdot\Vert }(\mathbf({x)},\mathbf{y})=\Vert \mathbf({x)}-\mathbf{y}\Vert </math>
'''TEOREMA 2.4.2.'''
che ha le proprieta' di una distanza; <math>V</math> e' quindi uno spazio metrico rispetto alla distanza indotta dalla norma.
Una norma permette di definire una funzione
<math>d_{\Vert \cdot \Vert }:V^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math>
,
<math>d_{\Vert \cdot\Vert }(\mathbf(x),\mathbf{y})=\Vert \mathbf(x)-\mathbf{y}\Vert </math>
che ha le proprieta' di una distanza;
<math>V</math>
e' quindi uno spazio metrico rispetto alla
distanza indotta dalla norma.
 
'''Definizione 2.4.3.'''