Analisi complessa/Prodotto scalare e spazi di Hilbert: differenze tra le versioni

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#<math><x+y,z>=<x,z>+<y,z>\!</math>
#<math><\alpha x,y>=\alpha <x,y>\!</math>
#<math><x,y>=\overline{<y,x>}</math> nel caso reale invece: <math><x,y>=<y,x>\!</math>)
#<math><x,x>\geq 0\quad \forall x\in X</math>
#*<math><x,x>=0\iff x=0</math>
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Le proprietà 1. e 2. indicano che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima componente. Inoltre se ci trovassimo nel caso reale allora la proprietà 3. si esprime come: <math><x,y>=<y,x>\!</math> (simmetria).
 
Il prodotto scalare induce una norma definita come:
:<math>||\cdot||:X\longrightarrow\R^+</math>
definita come
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'''Esempi''': Sono spazi di Hilbert <math>\R^n, \mathbb{C}^n</math>. Per verificarlo, è sufficiente mostrare la validità delle proprietà scritte in precedenza.
 
==Identità del parallelogramma==
;Teorema
:Siano <math>x,y\in X</math>, dove ''X'' è uno spazio di Hilbert, allora vale l'uguaglianza:
<center><math>||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)\!</math> (identità del parallelogramma)</center>
 
'''Dimostrazione'''
Utilizzando le proprietà del prodotto scalare si ha che:<br></br>
:<math>||x+y||^2 = <x+y,x+y> = <x,x+y>+<y,x+y> = \overline{<x+y,x>}+\overline{<x+y,y>}</math>
mentre
:<math>||x-y||^2 = <x-y,x-y> = <x,x+y>-<y,x+y> = \overline{<x-y,x>}+\overline{<x-y,y>}</math>
pertanto sommando ed elaborando i risultati, si ottiene che:
:<math>||x+y||^2+||x-y||^2=2<x,x>+2<y,y> = 2||x||^2+2||y||^2 = 2(||x||+||y||)\!</math>
Che è quello che si voleva dimostrare.
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L'identità del parallelogramma è utile perchè se essa non vale allora lo spazio non è di Hilbert.
 
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