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Analisi complessa/Integrali nel campo complesso: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
Occorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso. Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile reale con valori complessi, ▼
:<math>w(t)=u(t)+Iv(t)</math>;▼
 
definiamoDefiniamo la derivata di tale funzione come ▼
Occorre parlare delle definizioni di integrali nel campo complesso.
:<math>zw'(t)=xu'(t)+I yv'(t)</math>▼
▲Conviene cominciare introducendo gli integrali di una funzione di variabile
per la quale valgano formalmente le stesse regole di derivazione del caso a valori reali.
reale con valori complessi,
▲<math>w(t)=u(t)+Iv(t)</math>;
 
:Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come ▼
▲definiamo la derivata di tale funzione come
:<math>\int_{a}^{b}w'(t)dt=\int_{a}^{b}u'(t)dt+I \int_{a}^{b}v'(t)dt</math>
,in permodo lada qualepoter valganotrasportare formalmentesenza problemi le stessevarie regole di derivazioneintegrazione del caso reale.
a valori reali.
 
Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni <math>u</math> e <math>v</math> sono continue a tratti, e vale ▼
▲:Gli integrali si introducono naturalmente, in questo contesto, come
<math>\int_{a}^{b}w(t)dt=\int_{a}^{b}u(t)dt+I\int_{a}^{b}v(t)dt</math>▼
in modo da poter trasportare senza problemi le varie regole di integrazione
del caso reale.
▲Gli integrali sono di sicuro ben definiti se le funzioni
<math>u</math>
e <math>v</math> sono continue a tratti, e vale
il teorema fondamentale del calcolo integrale:
:se <math>z'(t)=w(t)</math>, allora
, :<math>\int_{a}^{b}w(t)dt=z(b)-z(a)</math>
inoltreInoltre vale la disuguaglianza▼
</math>
▲:<math>|\int_{a}^{b}w(t)dt=| \leq\ |\int_{a}^{b}u |w(t)|dt+I| \int_{qquad (a}^{<b}v(t)dt</math>
▲inoltre vale la disuguaglianza
<math>
|\int_{a}^{b}w(t)dt| \leq\ |\int_{a}^{b} |w(t)|dt| \qquad (a<b).
</math>
==Definizione==
 
Gli integrali di funzioni a variabile complessa vengono definiti lungo dei '''percorsi''' di integrazione, in modo analogo agli integrali curvilinei per le funzioni reali di più variabili.Occorre quindi per prima cosa considerare delle curve parametriche in <math>C</math>, definibili come
Gli integrali di funzioni a variabile complessa
:<math>z(at)=zx(t)+I y(bt)</math>; ▼
vengono definiti lungo dei ''percorsi'' di
integrazione, in modo analogo agli integrali
curvilinei per le funzioni reali di piu' variabili.
Occorre quindi per prima cosa considerare delle
curve parametriche in <math>C</math>, definibili come
 
un arco di curva e' un tratto con <math>z</math> definita per <math>t \in [a,b] \subseteq R</math>, continua; si dice '''semplice''' se
▲<math>z(t)=x(t)+I y(t)
:<math>z(t_1)=z(t_2)\iff t_1=t_2</math> ▼
</math>;
(la curva non ha autointersezioni), e '''chiuso''' se ▼
 
un arco di curva e' un tratto con :<math>z(a)=z(b)</math>
siSi dice '''regolare''' se ▼
definita per <math>t \in [a,b] \subseteq R</math>
:<math>z\in C^{1}([a,b])</math>▼
, continua;
 
si dice '''semplice''' se
 
▲<math>z(t_1)=z(t_2)\iff t_1=t_2</math>
 
▲(la curva non ha autointersezioni), e
'''chiuso'''
se
▲<math>z(a)=z(b)</math>;
▲si dice ''regolare'' se
▲<math>z\in C^{1}([a,b])</math>
e
:<math>z'(t)\neq 0</math>
tranne al piu'più agli estremi.
 
È '''regolare a tratti''' se è possibile suddividerla in un numero finito di archi regolari.
se e' possibile suddividerla in un numero finito di
archi regolari.
===Teorema (di Jordan)===
Ogni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una limitata (interno) ed una non limitata (esterno).▼
▲Ogni curva semplice e chiusa divide il piano in due regioni aperte, una
limitata (interno) ed una non limitata (esterno).
 
'''Definizione'''. Per ogni arco di curva semplice e regolare
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