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Analisi complessa/Serie di potenze: differenze tra le versioni

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{{Analisi complessa}}
==Successioni nel campo complesso==
Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni per un generico spazio metrico, utilizzando la distanza e la nomenclatura di <math>C</math>.
 
In particolare, sarà utile costruire legami tra le successioni in <math>C</math> e le successioni in <math>R</math>.
=Serie di potenze=
 
===Successioni nel campo complesso===
Per introdurre le successioni ed i concetti di convergenza nel
campo complesso ci limitiamo a declinare le definizioni
per un generico spazio metrico,
utilizzando la distanza e la nomenclatura di
<math>C</math>.
In particolare, sara' utile costruire legami tra le successioni in
<math>C</math>
e le successioni in
<math>R</math>.
 
===Definizione 1.5.1===
Una successione in <math>C</math> è una funzione <math>\mathbb{N}\rightarrow C</math>, che indichiamo come un insieme di valori con indice, <math>z_{n}</math>.
 
e' una funzione <math>\mathbb{N}\rightarrow C</math>
Diciamo che una successione converge a <math>z</math> , o che <math>\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z</math> se
, che indichiamo come un insieme di valori con indice,
:<math>\forall\epsilon>0:\exists N:n>N \Rightarrow |z_{n}-z|<\epsilon</math>.
 
Diciamo che una successione converge a
Una ''serie'' è una somma infinita
<math>z</math> , o che <math>\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z</math>
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>
se
e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
<math>\forall\epsilon>0:\exists N:n>N \Rightarrow |z_{n}-z|<\epsilon</math>
:<math>s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}</math>
.
Una ''serie'' e' una somma infinita
<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>
, e diciamo che converge se converge la successione delle somme parziali
<math>s_{N}=\sum_{n=1}^{N}z_{n}</math>.
 
===TEOREMA 1.5.2.===
Sia <math>z_{n}=x_{n}+I y_{n}</math> una successione in <math>C</math>, e <math>z =x+I y</math>.
Allora
una successione in <math>C</math>
:<math>[\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=z \iff \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x e \lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=y</math>
, e <math>z =x+I y</math>.
In modo analogo, se <math>S=X+IY</math>, la serie
Allora <math>[
:<math>\lim_sum_{n\rightarrow=1}^{\infty}z_{n}=zS \iff \lim_sum_{n\rightarrow=1}^{\infty}x_{n}=xX e \lim_sum_{n\rightarrow=1}^{\infty}y_{n}=yY</math>
</math>
in modo analogo, se
<math>S=X+IY</math>
, la serie <math>
\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}=S \iff \sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=X e \sum_{n=1}^{\infty}y_{n}=Y
</math>
 
Se una serie di numeri complessi converge in valore assoluto, converge anche in senso proprio: se
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|</math>
assoluto, converge anche in senso proprio: se
<math>\sum_{n=1}^{\infty} |z_{n}|</math>
converge, allora converge anche
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}z_{n}</math>.
===Serie di potenze===
===Definizione 1.5.4===
 
Una '''serie di potenze''' è una serie dipendente da un parametro <math>z</math> , della forma
'''Definizione 1.5.4'''
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
Una '''serie di potenze'''
e' una serie dipendente da un parametro
<math>z</math> , della forma
<math>
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}
</math>
 
Se una serie di potenze
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
converge per
:<math>z =z_1 \neq z_0</math>
, allora converge assolutamente in ogni punto del disco aperto
:<math>|z-z_0|<R_1=|z_1-z_0|</math>
.
Definendo il ''raggio di convergenza''
<math>R</math>
come il
<math>\sup|z-z_0|</math>
tra tutti gli
<math>z</math>
per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente
all'interno di un disco di raggio
<math>R</math>
centrato in
<math>z_0</math>
, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.
Se
<math>R=\infty</math>
la serie converge su
<math>C</math>
se e' zero converge soltanto in
<math>z_0</math>.
 
UnaDefinendo serieil di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio''raggio di convergenza,'' <math>R</math> come il
:<math>\sup|z-z_0|</math>
S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R)
tra tutti gli <math>z</math> per cui la serie converge, abbiamo che la serie converge assolutamente all'interno di un disco di raggio <math>R</math> centrato in <math>z_0</math>, ed in nessun punto all'esterno del cerchio.
</math>
 
Se <math>R=\infty</math> la serie converge su <math>C</math>, se è zero converge soltanto in <math>z_0</math>.
 
Una serie di potenze definisce quindi una funzione sul suo cerchio di convergenza,
:<math> S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}\qquad(|z-z_0|<R) </math>
 
===TEOREMA 1.5.6.===
Una serie di potenze con raggio di convergenza <math>R</math> converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio <math>R'<R</math> centrato in <math>z_0</math> , ed è uniformemente continua entro tale cerchio.
<math>R</math>
converge uniformemente entro ogni cerchio chiuso di raggio
<math>R'<R</math>
centrato in
<math>z_0</math>
, ed e' uniformemente continua entro tale cerchio.
 
===TEOREMA 1.5.7.===
Sia <math>S(z)</math> una serie di potenze definita come sopra, e <math>C</math> un contorno interno al cerchio di convergenza della serie. Sia <math>g(z)</math> una funzione continua sul percorso <math>C</math>. Allora
Sia
:<math>\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz</math>
una serie di potenze definita come sopra, e
<math>C</math>
un contorno interno al cerchio di convergenza della serie.
Sia
<math>g(z)</math>
una funzione continua sul percorso
<math>C</math>.
Allora
<center>
<math>
\int_{C}g(z)S(z)dz =\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\int_{C}g(z)(z-z_0)^{n}dz
</math>
</center>
 
===TEOREMA 1.5.8.===
<math>S(z)</math> è analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e può essere derivata termine a termine, cioè
<math>S(z)</math>
:<math>S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}</math>
e' analitica all'interno del suo cerchio di convergenza, e puo' essere derivata
Inoltre
termine a termine, cioe'
:<math>a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}</math>
<math>
S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}na_{n}(z-z_0)^{n-1}
</math>
inoltre
<math>
a_{n}=\frac{S^{(n)}(z_0)}{n!}
</math>
 
===Teorema 1.5.9 (di Taylor)===
Sia <math>f</math> una funzione analitica in un cerchio aperto <math>|z-z_0|<R</math>. Allora la serie di potenze definita come
Sia
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}</math>
<math>f</math>
converge a <math>f(z)</math> per ogni punto interno al cerchio.
una funzione analitica in un cerchio aperto
<math>|z-z_0|<R</math>
.
Allora la serie di potenze definita come
<center>
<math>
S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^{n}
</math>
</center>
converge a
<math>f(z)</math>
per ogni punto interno al cerchio.
 
Tale sviluppo e'è unico, cioe'cioè
:<math>S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}</math>
converge a <math>f(z)</math> solo se i suoi coefficienti sono
converge a
:<math>a_{n}=f^{(zn)}(z_0)/n!</math>
solo se i suoi coefficienti sono
<math>a_{n}=f^{(n)}(z_0)/n!</math>
.
 
===Teorema 1.5.10 (di Laurent)===
Sia <math>f</math> una funzione analitica in una corona circolare
Sia
:<math>fR_1<|z-z_0|<R_2</math>
e sia <math>C</math> un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto nel dominio anulare in cui <math>f</math> è analitica.
una funzione analitica in una corona circolare
 
<math>R_1<|z-z_0|<R_2</math>
, e sia
<math>C</math>
un contorno semplice chiuso orientato positivamente, interamente contenuto
nel dominio anulare in cui
<math>f</math>
e' analitica
.
Allora, in ogni punto del dominio,
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{(z-z_0)^{n}}</math>
 
<center>
<math>
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_0)^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{(z-z_0)^{n}}
</math>
</center>
 
e i coefficienti dello sviluppo valgono
:<math>a_{n}=\frac{1}{2\pi I } \int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\qquad b_{n}=\frac{1}{2\pi I}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}}dz</math>
 
Tale sviluppo è unico.
<center>
<math>
a_{n}=\frac{1}{2\pi I } \int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\qquad b_{n}=\frac{1}{2\pi I}\int_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}}dz
</math>
</center>
 
Tale sviluppo e' unico.
 
===Prodotto di serie===
Date due serie <math>\sum a_{n}</math> e <math>\sum b_{n}</math> è possibile definire il '''prodotto di Cauchy''' delle due serie come
 
Date due serie :<math> \sum a_sum_{n}</math> e <math>\sum b_c_{n} \,</math> e' possibile definire il
'''prodotto di Cauchy''' delle due serie come
<center><math> \sum_{n} c_{n}</math></center> ,
 
con <math>c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}</math>.
 
===TEOREMA1.5.11===
Se <math>f</math> e <math>g</math> sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno
Se
<math>f</math>
e
<math>g</math>
sono due funzioni analitiche, esprimibili in serie di Taylor all'interno
di due cerchi
:<math>|z-z_f|<R_f</math>
e
:<math>|z-z_g|<R_g</math>
rispettivamente, il prodotto di Cauchy delle loro serie di Taylor converge
al prodotto delle due funzioni, all'interno dell'intersezione dei due cerchi
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[[Categoria:Analisi complessa|Serie di Potenze]]
{{Avanzamento|75%|10 febbraio 2009}}
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