Analisi complessa/Funzioni elementari: differenze tra le versioni
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Definiremo ora una serie di funzioni sul campo complesso, corrispondenti alle funzioni esponenziale, logaritmica ed alle funzioni trigonometriche sul campo reale. Vedremo in seguito che il requisito di analiticità e la richiesta di coincidere con le controparti reali per <math>z = 0</math> rende univoca la nostra scelta, e stabilisce un nesso tra l'espansione in serie della funzione reale e quella della funzione complessa.
▲funzione complessa.
Inoltre quando è possibile stabilire relazioni tra le varie funzioni (es. relazioni trigonometriche), in modo tale che i due membri dell'uguaglianza siano funzioni analitiche in un dominio, le relazioni sono verificate su tutto il dominio a patto che siano verificate sull'asse reale. Questo permette in genere di estendere a tutto il campo complesso la validità delle usuali relazioni nel campo reale.
La funzione esponenziale sul campo complesso <math>e^z</math> è definita come :<math>e^z = e^x (\cos y + i \sin y) = e^x e^{iy} \,</math>
ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali proprietà della funzione esponenziale, ▼
== Logaritmo ==
▲ricordando la formula di Eulero. Si dimostra facilmente che valgono le usuali
▲<center><math>e^{z1+z2} = e^{z1}e^{z2}</math></center>
:<math> \log z = ln ( \mathcal{j}z \mathcal{j} + i (\arg z + 2k \pi ) ; k Z</math>
Ciascuna delle soluzioni, con ''k'' fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su C tranne che nell'origine e lungo un raggio (''branch
:<math>(\log z)' = \frac{1}{z}</math>.▼
[[Categoria:analisi complessa|Funzioni elementari]]
▲<center><math>(e^z)^n = e^{nz} </math></center>
{{Avanzamento|100%|10 febbraio 2009}}
▲'''Logaritmo.''' Definiamo la funzione logaritmo come la soluzione <math>w</math>
▲dell'equazione <math>e^w = z</math>. Scrivendo <math>z = \mathcal{j} z \mathcal{j} e^{i arg z}</math> è chiaro come esistano più soluzioni, della forma <math> log z = ln ( \mathcal{j}z \mathcal{j} + i (Arg z + 2k \pi ) ; k Z</math>. Ciascuna delle
▲soluzioni, con k fissato, costituisce una branca della funzione logaritmo, che è in effetti una funzione a più valori. La branca principale della funzione è quella presa con k = 0. Ciascuna branca della funzione logaritmo è analitica su C tranne che nell'origine e lungo un raggio (branch cut), ed ha derivata
▲<math>(log z)' = \frac{1}{z}</math>.
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