Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Numeri complessi"

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{{Analisi complessa}}
 
''';Definizione 1.1.1'''.
:Definiamo l'insieme dei numeri complessi <math>\mathbb{C}</math> come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali <math>(x,y)\in\R^{2}</math> con somma e prodotto definiti come
::<math>(X_1,Y_1)+(X_2,Y_2)=(X_1X_2-Y_1Y_2X_1+X_2,X_2Y_1Y_1+X_1Y_2Y_2) \,</math>
come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali
::<math>(xX_1,yY_1)(X_2,Y_2)=(X_1X_2-Y_1Y_2,X_2Y_1+X_1Y_2) \in\R^{2},</math>
con somma e prodotto definiti come
 
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta'proprietà algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math> ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
<center>
:<math>(X_1X,Y_1Y)=(X,0)+(X_20,Y_21)=(X_1+X_2Y,Y_1+Y_20)=X+IY</math>
</math>
</center>
<center>
<math>(X_1,Y_1)(X_2,Y_2)=(X_1X_2-Y_1Y_2,X_2Y_1+X_1Y_2)
</math>
</center>
 
dove 1 = (0,1).
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta' algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math>
ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si puo' scrivere come
 
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math> (è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero
<center>
:<math>(X,Y)z \in \mathbb{C}=(X,0)x+I y=(0x,1y)(Y,0)=X+IY</math>
definiamo:
</math>
:definiamo *il '''coniugato'''
</center>
<center>*:<math>\bar{z}=x-I y</math></center>
:*la '''parte reale'''
<center>*:<math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
:*la '''parte immaginaria'''
<center>*:<math>Im\, z =y=(z-\bar{z})/2</math></center>
:*il '''modulo'''
<center>*:<math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}</math></center>
 
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
dove 1= (0,1).
Si può quindi scrivere <math>z \in \mathbb{C}</math> come
:<math>z =\rho(\cos\theta+I\sin\theta) \,</math>
 
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita. <math>\rho</math> è il '''modulo''' di <math>z</math> e <math>\theta</math> l' '''argomento''' <math>\theta=\arg z</math>, che è definito a meno di multipli interi di <math>2\pi</math>.
L'analogia tra <math>\mathbb{C}</math> ed <math>\mathbb{R}^{2}</math>
Il '''valore principale dell'argomento''' e'è il valore scelto in <math>(-\pi,\pi)</math>, <math>\arg z</math>.
(e' immediato vedere che i due insiemi sono in
corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare
il campo complesso come l'insieme dei punti
di un piano cartesiano.
Definiamo poi, dato un numero
<math>z \in \mathbb{C}=x+I y=(x,y)</math>
 
:definiamo il '''coniugato'''
 
<center><math>\bar{z}=x-I y</math></center>
 
:la '''parte reale'''
 
<center><math>Re\, z =x=(z+\bar{z})/2</math></center>
 
:la '''parte immaginaria'''
<center><math>Im\, z =y=(z-\bar{z})/2</math></center>
 
:il '''modulo'''
<center><math>|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar{z}}</math></center>
 
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano
cartesiano, si puo' ora passare ad una
rappresentazione in coordinate polari.
Si puo' quindi scrivere
<math>z \in \mathbb{C}</math>
come
<math>z =\rho(\cos\theta+I\sin\theta)</math>
; evidentemente per z = 0 la forma polare e' mal definita.
<math>\rho</math> e' il '''modulo''' di <math>z</math> e
<math>\theta</math> l' '''argomento'''
<math>\theta=\arg z</math>
, che e' definito a meno di multipli interi di
<math>2\pi</math> .
Il '''valore principale dell'argomento''' e' il valore scelto in
<math>(-\pi,\pi)</math>,
<math>\arg z</math>.
Definendo poi tramite la formula di Eulero
:<math>e^ {I \theta }= \cos \theta + I \sin \theta</math>
(relazione che sara' giustificata in seguito) avremo
:<math>z =\rho e^{I\theta}</math>
 
.
<h1>'''==TEOREMA 1.1.2.'''</h1> ==
Le quantita'quantità sopra definite godono di una serie di proprieta' proprietà algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> , con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math>
e :<math>z_2z_1=x_2x_1+Iy_2Iy_1=\rho_2rho_1 e^{I\theta_1}</math>
:<math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:<math>\thetarho_1=\arg|z_1| z\,</math>
 
<h1>'''TEOREMA 1.1.2.'''</h1>
 
Le quantita' sopra definite godono di una serie di proprieta' algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> , con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math>
e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:<math>\rho_1=|z_1|</math>
 
:<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
 
[[Categoria:Analisi complessa|Numeri complessi]]
{{Avanzamento|75%|10 febbraio 2009}}
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