Differenze tra le versioni di "Analisi complessa/Numeri complessi"

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{{Analisi complessa}}
 
'''Definizione 1.1.1'''.
Definiamo l'insieme dei numeri complessi <math>\mathbb{C}</math>
come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali
 
<center>
<math>(x_1X_1,y_1Y_1)+(x_2X_2,y_2Y_2)=(x_1X_1+x_2X_2,y_1Y_1+y_2Y_2)
</math>
</center>
<center>
<math>(x_1X_1,y_1Y_1)(x_2X_2,y_2Y_2)=(x_1x_2X_1X_2-y_1y_2Y_1Y_2,x_2y_1X_2Y_1+x_1y_2X_1Y_2)
</math>
</center>
 
È facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta' algebriche di un '''[[w:campo|campo]]''' (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma <math>(X,0)</math>
ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si puo' scrivere come
ha le proprieta' algebriche di un '''[[w:campo|campo]]'''
(vedi sezione 2.3).
Inoltre, assimilando i numeri della forma
<math>(x,0)</math>
ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso
si puo' scrivere come
 
<center>
<math>(xX,yY)=(xX,0)+(0,1)(yY,0)=xX+IyIY
</math>
</center>
.
 
'''TEOREMA 1.1.2.''' ''Le quantita' sopra definite godono
<h1>'''TEOREMA 1.1.2.'''</h1>
di una serie di proprieta' algebriche:
 
siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math>
Le quantita' sopra definite godono di una serie di proprieta' algebriche: siano <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> , con <math>z_1=x_1+Iy_1=\rho_1 e^{I\theta_1}</math>
e <math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
e
<math>z_2=x_2+Iy_2=\rho_2 e^{I\theta_1}</math>
:(1)<math>\rho_1=|z_1|</math>
 
:(2)<math>|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|</math>
:(3)<math>z_1z_2=\rho_1 \rho_2 e^{I(\theta_1+\theta_2)}</math>
:(4)<math>z_1/z_2=\frac{\rho_1}{\rho_2} e^{I(\theta_1-\theta_2)}</math>
:(5)<math>z_1^{n}=\rho_1^{n} e^{I n\theta_1} \qquad n \in \Z</math>
 
:(6) <math>\sqrt[n]{z_1}=\sqrt[n]{\rho_1}e^{I(\frac{\theta_1}{n}+\frac{k2\pi}{n})}\qquad k=0,1,\ldots n-1</math>
 
Inoltre si nota che <math>|\cdot|</math> soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare
soddisfa le definizioni di una distanza
, e di conseguenza si puo' considerare
<math>\mathbb{C}</math> uno [[w:spazio metrico|spazio metrico]].
 
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