Matematica per le superiori/Le equazioni di secondo grado: differenze tra le versioni

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Si dicono '''equazioni polinomiali di secondo grado ad una incognita''' quelle riconducibili alla forma
 
<math> ax^{2}+bx+c=0 \,</math>
 
Queste possono essere di tre tipi:
 
* '''pure''' (quando <math>b=0</math>, quindi del tipo <math> ax^{2}+c=0 \,</math>)
* '''spurie''' (quando <math>c=0</math>, quindi del tipo <math> ax^{2}+ bx = 0 \,</math>)
* '''complete''' (<math>ax^2 + bx + c = 0\,</math>)
 
==Equazioni di secondo grado pure==
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Si dicono '''pure''' le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma
 
<math> ax^2 + c = 0 \,</math>, dove quindi scompare il termine di primo grado <math>bx\,</math> (quando cioè si ha che <math> b=0\,</math>).
 
===Risoluzione delle equazioni di secondo grado pure===
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Se a e c sono discordi, allora la soluzione sarà quel numero il cui quadrato è uguale a <math> - {c \over a}</math>, quindi <math> x_{1,2} = \mp \sqrt{- {c \over a} } </math>.
 
Se <math> a \,</math> e <math> c \,</math> sono concordi invece si ha che <math>{c \over a}</math> è un numero positivo e quindi il suo opposto, <math> - {c \over a}</math>, è negativo. Si ottiene quindi:
<math>x^2=\,</math><numero_negativo>,
ma questa equazione non ha soluzione (in <math>\mathbb{R}</math>) perché non esiste nessun numero reale che elevato alla seconda dia come risultato un numero negativo.
Quindi se <math> - {c \over a}</math> è positivo, l'equazione ha due soluzioni opposte, se è negativo non ha soluzioni nel campo reale.
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===Esempio===
 
<math> 2x^2 - 5 = 0 \,</math>
 
<math> x_{1,2} = \mp \sqrt{5 \over 2} </math>
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Si dicono '''spurie''' le equazioni di secondo grado riconducibili alla forma
 
<math> ax^2 + bx = 0 \,</math>
 
===Risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie===
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:<math>x = 0 \vee x = - {b \over a} </math>
 
Le soluzioni sono quindi <math> x_1 = 0 \,</math> e <math> x_2 = - {b \over a} </math>
 
===Esempio===
 
<math> 3x^2 + 8x = 0 \,</math>
 
<math> x_1 = 0 \,</math> e <math> x_2 = - {8 \over 3} </math>
 
==Equazioni di secondo grado complete==
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Partiamo dall'equazione ridotta alla forma canonica:
 
<math> ax^2 + bx + c = 0 \,</math> con <math>a, b, c \in \R</math> e <math>a \not= 0, b \not= 0, c \not= 0</math>
 
Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>4a\,</math>:
 
<math> 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \,</math>
 
Aggiungiamo quindi <math>b^2\,</math> a entrambi i membri, dopo aver spostato il termine noto:
 
<math> 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac \,</math>
 
Il primo membro è quindi scomponibile come quadrato di un binomio:
 
<math> (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \,</math>
 
Il secondo membro di questa equzione è chiamato '''discriminante''', in quanto ''discrimina'', differenza il procedimento di calcolo della soluzione. È indicato con la lettera greca <math>\Delta</math> (delta maiuscola). Analizziamo i tre casi:
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* <math>\Delta > 0</math>
:In questo caso risolviamo normalmente l'equazione:
:<math> (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac \,</math>
:<math> 2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac} </math>
:<math> 2ax = -b\pm\sqrt{b^2-4ac}</math>
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:L'equazione ha quindi due soluzioni, una <math>\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> e una <math>\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
* <math>\Delta = 0</math>
: L'equazione diventa quindi <math>(2ax + b)^2 = 0\,</math>, cioè <math>(2ax + b)(2ax + b) = 0\,</math>; quindi, per la legge dell'annullamento del prodotto, <math>x_{1,2} = - {b \over 2a}</math>.
 
===Esempio===
 
<math> x^2 + 3x - 10 = 0 \,</math>
 
Calcoliamo la discriminante:
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Prendiamo ora un'equazione di secondo grado completa ridotta a forma normale:
 
<math> ax^2 + bx + c = 0 \,</math>
 
Dividiamo entrambi i membri per a:
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Questo può essere utile ad esempio se si vuole trovare due numeri sapendo la loro somma e il loro prodotto:
<math>s=5\,</math>
 
<math>p=6\,</math>
 
<math>x^2 - sx + p = 0\,</math>
 
<math>\Delta = s^2 - 4p\,</math>
 
Si procede quindi come una normale equazione di secondo grado completa.