Analisi matematica/Numeri complessi: differenze tra le versioni

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==numeriNumeri complessi==
===Definizioni===
Una coppia <math>\ (a,b)</math> di numeri reali, tali che:
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Due numeri reciproci sono tali che i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse x e i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro <math>\ 0</math> e raggio <math>\ 1.</math>
 
===operazioniOperazioni===
 
====addizioneAddizione e sottrazioneSottrazione====
 
::::<math>\ (a+ib)\pm(a'+ib')=(a\pm a')+ i(b\pm b')</math>
 
====moltiplicazioneMoltiplicazione====
 
::::<math>\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),</math>
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cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
 
====elevazione a potenzaDivisione====
 
::::<math>{a+ib\over a'+b'}={(a+ib)(a'-ib')\over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab')\over a'^{2}+b'^{2}}</math>
 
ovvero:
 
::::<math>{\rho(\cos\ \theta+i\ sin\ \theta)=\rhoover e^{\rho'(cos\theta'+i\sin\theta')}=e^{log\rho\over \rho'}[cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta}-\theta')]</math>
 
====Elevazione a potenza====
 
::::<math>\ (a+ib)^{n}=[\rho(cos\theta+i\sin\theta)]^{n}=\rho^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)</math>
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::::<math>i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1</math>
 
====potenzaPotenza con esponente immaginario====
====divisione====
 
::::<math>{a+ib\over a'+b'e^{ix}={(a+ib)(a'-ib')cos\over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'x+i(a'b-ab')\over a'^{2}+b'^{2}}sin\ x</math>
 
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
ovvero:
 
::::<math>{\rho(\cos\ \theta+i\ sin\ \theta)=\overrho \rho'(cos\theta'+e^{i\sin\theta')}=e^{\rho\overlog \rho'}[cos(\theta-\theta')+i\sin(\theta-\theta')]}</math>
 
====estrazioneEstrazione di radice====
 
::::<math>\sqrt[n]{a+ib}=\sqrt[n]{\rho\ (cos\theta+i\ sin\theta)}=\sqrt[n]{\rho}\ [cos{\theta+2k\pi\over n}+i\ sin{\theta+2k\pi\over n}]</math>
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:::::::::dove <math>:\qquad k=0,1,2...n-1</math>
 
====potenza con esponente immaginario====
 
:::<math>\ e^{ix}=cos\ x+i\ sin\ x</math>
 
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
 
:::<math>\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)=\rho e^{i\theta}=e^{log \rho+i\theta}</math>
 
====logaritmoLogaritmo di un numero complesso====
 
:::<math>\log[\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]=log\ \rho+i\theta+2k\pi i,\qquad k=0,1,2...</math>