Analisi matematica/Numeri complessi: differenze tra le versioni
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===Definizioni===
Una coppia <math>\ (a,b)</math> di numeri reali, tali che:
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Due numeri reciproci sono tali che i loro indici sono simmetrici rispetto all'asse x e i loro moduli sono inversi rispetto al cerchio di centro <math>\ 0</math> e raggio <math>\ 1.</math>
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::::<math>\ (a+ib)\pm(a'+ib')=(a\pm a')+ i(b\pm b')</math>
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::::<math>\ (a+ib)\cdot (a'+ib')=aa'-bb'+i(ab'+a'b),</math>
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cioè si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti.
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::::<math>{a+ib\over a'+b'}={(a+ib)(a'-ib')\over a'^{2}+b'^{2}}={aa'+bb'+i(a'b-ab')\over a'^{2}+b'^{2}}</math>
ovvero:▼
::::<math>{\rho(\cos
====Elevazione a potenza====
::::<math>\ (a+ib)^{n}=[\rho(cos\theta+i\sin\theta)]^{n}=\rho^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)</math>
Line 52 ⟶ 60:
::::<math>i^{4k+1}=i\qquad i^{4k+2}=-1\qquad i^{4k+3}=-i\qquad i^{4k+4}=1</math>
(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:▼
▲ovvero:
====
::::<math>\sqrt[n]{a+ib}=\sqrt[n]{\rho\ (cos\theta+i\ sin\theta)}=\sqrt[n]{\rho}\ [cos{\theta+2k\pi\over n}+i\ sin{\theta+2k\pi\over n}]</math>
Line 74 ⟶ 82:
:::::::::dove <math>:\qquad k=0,1,2...n-1</math>
▲====potenza con esponente immaginario====
▲(fomula di Eulero), da cui segue la forma esponenziale di un numero complesso:
▲:::<math>\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)=\rho e^{i\theta}=e^{log \rho+i\theta}</math>
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:::<math>\log[\rho(cos\ \theta+i\ sin\ \theta)]=log\ \rho+i\theta+2k\pi i,\qquad k=0,1,2...</math>
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