Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16: differenze tra le versioni
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[[w:Niels Abel|Niels Abel]] diceva che la matematica si impara meglio se la si ascolta direttamente dalla bocca dei maestri, piuttosto che da quella degli allievi. Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del ''maestro'' Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli ''allievi'' li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'''allievo'' [
▲Per questo, nelle seguenti dimostrazioni, useremo proprio le parole del ''maestro'' Euclide (naturalmente tradotte in italiano corrente) mentre i commenti degli ''allievi'' li metteremo tra parentesi. A parte naturalmente le enunciazioni, che l'''allievo'' [http://it.wikipedia.org/wiki/Tartaglia Nicolò Tartaglia] scrisse nel 1565, e che qui useremo come intestazione di ciascun teorema.
== Teorema 9==
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''' Puotemo diuidere una proposta retta in due parti equale.'''
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Prendiamo una linea retta AB, la dividiamo in due parti uguali costruendo un triangolo equilatero ABC. Dopo questo, dividiamo l'angolo C in due parti uguali, per il teorema [[Elementi_di_Euclide/Libro_I-Teoremi_9-16#Teorema_9|precedente]], con la linea CD. La linea CD divide la linea AB in due parti uguali individuando il punto D. Per dimostrar questo intendiamo i due triangoli ACD e BCD e intuiamo che i due lati AC e CD del triangolo ACD sono uguali ai due lati BC e CD del triangolo BCD. L'angolo C del triangolo ACD è uguale all'angol C del triangolo BCD, quindi la base AD sarà uquale alla base BD. In conclusione possiamo dire che AD precede BD e che queste due sono divise in due parti uguali dal punto D.
▲Per un’immagine interattiva [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI10.html]
== Teorema 11==
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Sia dato il segmento AB sul quale si voglia segnare il punto C, in modo che sia il piede di una delle perpendicolari ad AB. Per ottenere questo risultato è necessario tracciare il segmento BC in modo che sia congruente ad AC e quindi costruire un triangolo equilatero sul segmento AB. Il segmento che collega i due punti C e D è appunto la perpendicolare alsegmento AB.
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Questo però implica che i due angoli devono essere entranbi retti (vedi [[Elementi_di_Euclide/Libro_I#Definizione_8|Definizione 8]]) e di conseguenza la retta DC sarà prependicolare al segmento AB.
C.V.D.
Per un’immagine interattiva [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI11.html]▼
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== Teorema 12==
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Sia il ponto .a. signato fora della linea .b.c. dalqual bisogni condure una perpendicolare alla detta linea .b.c. adonque per esequir tal cosa allongarò la linea .b.c. (8) in l'una è l'altra parte quanto bisogna, & sopra al ponto .a. descriuerò un cerchio di tal grandezza che seghi la detta linea .a.c. in dui ponti ilqual pongo sia ilcerchio .d.e.f.g. ilquale seghi la linea .b.c. nelli dui ponti .d. & .f. dapoi congiongerò il ponto .a. con li dui ponti. d. & .f. con le due linee .a.d. & .a.f. & dapoi diuiderò l'angolo .d.a.f. in due parti equali (9) con la linea .a.h. (per la nona propositione) hor dico che la linea .a.h. e perpendicolare sopra la linea .b.c. & per dimostrar questo intendo li duoi triangoli a.d.h. & .a.f.h. & perche li duoi lati .a.d. & .a.h. del triangolo .a.d.h. sono equali alli duoi lati .a.f. & .a.h. del triangolo .a.f.h. perche le due linee .a.d. [pag. 25r] & .a.f. uengono dal centro alla circonferentia, lo lato .a.h. è commune ad ambidoi, e l'angolo .a. dell'uno è equale all'angolo .a. dell'altro, & per la quarta propositione, la basa .d.h. serà equale alla basa .h.f. & l'angolo .a.h.d. all'angolo .a.h.f. per laqual cosa l'uno & l'altro serà retto, per la ottaua diffinitione, & per la nona, la linea .a.h. serà perpendicolare sopra la linea .b.c. che è il proposito.
== Teorema 13==
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Li duoi angoli constituidi de ogni linea retta, che stia sopra a una linea retta, ouero che sono retti, ouero che son equali a duoi angoli retti.
[vedi figura 025r.png] Sia che la linea .a.b. stia sopra alla linea .c.d. dico che li duoi angoli constituidi dalla detta linea .a.b. con la linea .c.d. ouer che sono ambiduoi retti. ouer che son equali a duoi angoli retti, liquali angoli l'uno è l'angolo .a.b.d. & l'altro è l'angolo .a.b.c. & per dimostrar questo arguirò in questo modo. Ouer che la linea .a.b. serà perpendicolare sopra la .c.d. ouer non: se la serà perpendicolare sopra la detta linea .c.d. constituerà duoi angoli equali è retti: per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, che è il primo propofito. Ma se la non serà perpendicolare, ma che quella sia declinante sopra quella, poniamo uerso .d. all'hora la detta linea .a.b. constituerà duoi angoli, l'uno di quali serà acuto, cioè l'angolo .a.b.d. et l'altro serà ottuso cioè l'angolo .a.b.c. hor dico che questi duoi angoli insieme sono equali a duoi angoli retti, & per dimostar questo, dal ponto .b. conduro la perpendicolare .b.e. per l'undecima propositione, sopra la linea .c.d. dellaquale li duoi angoli .e.b.c. & .e.b.d. sono retti, per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, adonque perche li duoi angoli .d.b.a. et .a.b.e. se equaliano all'angolo .d.b.e. ilqual è retto, giontoli anchora l'angolo .c.b.e. che è retto, tutti tre seranno equali a duoi angoli retti, perche li duoi, cioe .d.b.a. et .a.b.e. sono equali all'angolo .d.b.e. che è retto: il terzo,cioe l'angolo .e.b.c. da se è retto, però tutti tre sono equali a duoi retti, ma l'angolo .a.b.c. ottuso è equale a duoi di quelli tre angoli, cioe all'angolo .c.b.e. che è retto etiam l'angolo .e.b.a. adonque li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.d. sono equali a duoi angoli retti, che è il proposito. Et nota che per questa propositione si manifesta che tutto il spacio che circonda un ponto, in qual si uoglia superficie piana, sempre quello serà equale a quattro angoli retti.
== Teorema 14==▼
▲== Teorema 14==
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Se da uno ponto de una linea retta usciranno due linee rette in diuerse parti, & farà li duoi angoli attorno in se retti, ouero equali a duoi angoli retti, quelle due linee fra loro sono congionte direttamente, & sono una sol linea.
Sia la linea retta ,a,b, &, dal ponto ,b, usciano due linee rette in parte opposite, et l'una sia la linea .b.c. & dall'altra parte opposita, sia, la linea .b.d. lequal linee feciano li duoi angoli, liquali son ,c,b,a, & ,d,b,a, equali a duoi angoli retti. hor dico che le due linee .c.b. & .d.b. sono congionte direttamente l'una & l'altra & sono una sol linea, laqual è la linea .c.b.d. & se la non serà una sol linea, per l'auersario, sia protratta la linea ,c,b, in continuo & diretto, & per non esser una linea con la linea ,b,d, transirà ouer di sopra della detta linea .b.d. come fa la ,b,f, ouer di sotto come fa la .b.e. Adonque perche sopra della linea ,c,b,f, gli cade la linea .a.b. li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.f. per la precedente seran equali a duoi angoli retti, & perche li angoli retti sono equali fra loro, per la quarta petitione, anchora li duoi angoli .c.b.a. & .d.b.a. son equali a duoi angoli retti, dal presupposito, perilche li duoi angoli ,a,b,c, & ,a,b,f, seran equali alli duoi angoli ,c,b,a, & ,d,b,a, adonque cauando communemente l'angolo ,c,b,a, li duoi rimanenti, per la terza concettione, seranno fra loro equali, cioè l'angolo .d.b.a. seria equal all'angolo ,f,b,a laqual cosa è impossibile che la parte sia equale al tutto, & per la medesima uia tu approuerai, la linea .c.b. protratta per in fina m.e. che l'angolo ,a,b,d, serà equal all'angolo ,a,b,e, che è pur impossibile, per laqual cosa serà constretto l'auersario a confirmare che protratta la linea ,c,b, caderà precise in la linea ,b,d, et la linea ,c,b,d, esser una (11) sol linea, e non due, che è il proposito.
== Teorema 15==
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[15/15] Tutti li angoli contrapositi de ogni due linee rette che si seghino, fra loro sono equali, perilche eglie manifesto che quando due linee rette si seghino fra loro, li quattro angoli che fanno essere equali a quattro angoli retti.
▲Per un immagine interattiva [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI15.html]
== Teorema 16==
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Sia che 'l triangolo .a.b.c. sia protratto el lato .a.b. per fina in d. Dico che l'angolo .d.b.c. è maggiore di l'uno & dell'altro di duoi angoli di dentro del triangolo a lui oppositi, delliquali l'un è l'angolo .b.a.c. e l'altro è l'angolo .b.c.a. & per dimostrar questo io diuiderò il lato .c.b. in due parti equali, per la dottrina della decima, in ponto .e. & protrarò la linea .a.e. per fin al ponto .f. talmente che la .f.e. sia equale alla .a.e. poi tirarò la linea .f b. & fatto questo io intendo li duoi triangoli .c.e.a. & .b.e.f. & perche li duoi lati .a.e. & .e.c. del triangolo .a.e.c. sono equali alli duoi lati .f.e. & .e.b. del triangolo .f.e.b. & l'angolo .e. dell'uno si è equale all'angolo .e. dell'altro, per la precedente propositione, perche sono angoli contrapositi, & per la quarta propositione, l'angolo .e.c.a. serà equale all'angolo .e.b.f. e per tanto l'angolo .e.b.d. qual è maggiore dell'angolo .e.b.f. sua parte, serà etiam maggiore dell'angolo .a.c.e. per esser l'angolo .a.c.e. equal al .e.b.f. sua parte, & cosi hauemo dimostrato come l'angolo .c.b.d. de fuora del triangolo è maggiore dell'angolo .a.c.b. di dentro del triangolo a lui opposito. Similmente anchora se approua che lui è maggior dell'angolo .c.a.b. Perche diuiderò il lato .a.b. in due parti equale nel ponto .g. per la decima propositione, & protrarrò la linea .c.g. per fin in .h. talmente che la .g.h. sia equale alla .g.c. per la tertia propositione, dapoi protrarrò la .h.b.k. poi intendo li duoi triangoli .a.c.g. & .g.b.h. che li duoi lati .a.g. & g.c. del triangolo .a.g.c. sono equali alli duoi lati .g.b. & .g.h. del triangolo .g.b.h. & l'angolo .g. dell'uno è equale all'angolo .g. dell'altro, per la precedente propositione, & per la quarta propositione, l'angolo .g.a.c. è equale all'angolo .g.b.h. hor perche l'angolo .k.b.d. è equale all'angolo contraposito .g.b.h. per la precedente propositione, serà etiam equale all'angolo .c.a.g. per la prima concettione, & perche l'angolo .c.b.d. è maggiore dell'angolo k.b.d. sua parte, serà etiam maggiore dell'angolo .g.a.c. a quello equale, che è il proposito.
Bisogna aduertir che la linea .h.b. protratta uerso .f. de necessità passa sopra alla linea [pag. 26v] .b.f. perilche la linea ,b,k, non se discerne dalla linea ,b,f, per esser in quella medesima.
[[Categoria:Geometria|Teoremi]]
[[Categoria:Elementi di Euclide|Teoremi 9-16]]{{avanzamento|0%|12 febbraio 2008}}
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