Matematica per le superiori/Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado è una disequazione ad una incognita che presenta l'incognita con esponente pari a uno o a due. Ogni disequazione di secondo si può scrivere nella forma:

$ax^{2}+bx+c>0$

Risoluzione algebrica

Partendo dalla nostra equazione:

$ax^{2}+bx+c>0$

poniamo una limitazione non restrittiva $a>0\,$ (se $a<0$ basta moltiplicare entrambi i membri per -1)

Raccogliamo $a$:

$a\left(x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}\right)>0$

$a\left(x^{2}+{b \over a}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{c \over a}\right)>0$

$a\left(\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)>0$

$a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}>0$

$b^{2}-4ac$ è la discriminante dell'equazione $ax^{2}+bx+c=0$, quindi scriviamo:

$a\left({x+{\frac {b}{2a}}}\right)^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}>0$

A questo punto abbiamo tre casi, a seconda del valore della discriminante:

• $\Delta <0\,$

${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}$ è una quantità sempre positiva e $-{\frac {\Delta }{4a}}$ è sempre positivo (sappiamo infatti che a è positivo e che il discriminante è negativo). Dunque la disequazione è verificata per ogni valore di x.

• $\Delta =0\,$

$-{\frac {\Delta }{4a}}$ è uguale a zero, quindi possiamo scrivere: ${x+{\frac {b}{2a}}}^{2}>0$. Questo valore è sempre positivo o nullo, quindi l'equazione è verificata per ogni valore della x tranne che per $x=-{\frac {b}{2a}}$, che invece rende il primo membro uguale a zero.

• $\Delta >0\,$