Aritmetica modulare/Polinomi in aritmetica modulare: differenze tra le versioni
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== Il teorema di Chevalley ==
Supponiamo di avere un polinomio in ''n'' incognite <math>P(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> di grado ''g'' (cioè tale che ''g'' è il massimo grado tra quelli dei monomi, dopo che il grado di ogni incognita è già stato ridotto ad essere minore di ''p''), tale che ''n'' > ''g'', e supponiamo che <math>P(0,0,\ldots,0)\equiv 0\mod p</math>, ovvero che non ci sia un termine noto. Il teorema di Chevalley afferma che esiste almeno un'altra soluzione della congruenza.
Per dimostrarlo, ragioniamo per assurdo, e supponiamo che esista un'unica soluzione. Costruiamo i due nuovi polinomi (dove ''X'' denota la ''n''-upla <math>(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math>)
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Come prima, costruiamo anche
:<math>f(X)=1-[P(X)]^{p-1}</math>
che ha grado minore o uguale di ''g''(''p'' -1), e assume sempre lo stesso valore di ''g''(''X''). Ora in ''g''(''X'') vi sono ''m'' fattori del tipo <math>x_1^{p-1}x_2^{p-1}\ldots x_n^{p-1}</math> che sono di grado ''n''(''p'' -1). Ma i due gradi devono essere uguali, quindi il monomio di grado ''n''(''p'' -1)
:<math>mx_1^{p-1}x_2^{p-1}\ldots x_n^{p-1}\equiv 0\mod p</math>
per ogni scelta degli <math>x_i</math>. perché sia possibile, si deve avere <math>m\equiv 0\mod p</math>, cioè ''m'' deve essere divisibile per ''p''. Ma siccome ''m'' era stato definito come il numero di soluzioni di ''P''(''X''), si ha che queste ultima sono in numero divisibile per ''p'', come volevasi dimostrare.
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