Matematica per le superiori/Risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali: differenze tra le versioni

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Per '''disequazione irrazionale''' si intende una disequazione in cui compare un'incognita sotto il segno di radice. Nella forma più semplice:
 
<math>\sqrt[n]{f_A_{(x)}} >\geq g_B_{(x)} \,</math><br>
 
== Esponente dispari ==
<math>\sqrt[3]{f_{(x)}} > g_{(x)} \quad \rightarrow \quad f_{(x)} > g_{(x)}^3</math>
 
La risoluzione algebrica di disequazioni irrazionali non comporta particolari problemi nel caso in cui l'indice ''<math>n''</math> della radice sia '''dispari''': in tal caso è sufficiente elevare alla ''<math>n''</math> l'intera equazionedisequazione, poiché non ci sono problemi legati al segno del radicando, che può essere sia positivo che negativo.
 
== Esponente pari ==
<math>\sqrt{f_{(x)}} > g_{(x)}</math>
 
In caso di '''indice pari''', in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in <math>\R</math> la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:
*I valori di x per cui '''g<math>g_{(x)>} \geq 0'''</math>
*I valori di x per cui '''g<math>g_{(x)} < 0''' \,</math>
I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di <math>g(x)</math> elevando all'indice della radice di <math>f(x)</math>. La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.
 
Si avranno quindi i seguenti sistemi:<br>
 
<math>\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} >=\geq 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} <=\leq 0 \\ f_{(x)} >=\geq 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right.</math>
<math>\sqrt{f_{(x)}} > g_{(x)}</math><br>
In caso di '''indice pari''', in cui il radicando dev'essere sempre positivo (non esiste in <math>R</math> la radice di un numero negativo), è invece necessario considerare:
*I valori di x per cui '''g(x)>0'''
*I valori di x per cui '''g(x)<0'''
I secondi sono sempre validi, a patto naturalmente che non rendano negativo il radicando, poiché qualsiasi valore della radice sarà sempre maggiore di un numero negativo. Per quanto riguarda i primi invece è necessario verificare che siano effettivamente maggiori di g(x) elevando all'indice della radice di f(x). La soluzione finale sarà l'unione delle due casistiche.
 
Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di <math>g(x) > 0</math>, <math>f(x)</math> dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di <math>g(x)</math>; la terza disequazione è quindi superflua.
Si avranno quindi i seguenti sistemi:<br>
<math>\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} >= 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} <= 0 \\ f_{(x)} >= 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right.</math>
 
Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:<br>
Nel primo sistema la seconda disequazione è già presente nella terza (per essere maggiore di g(x) > 0, f(x) dev'essere per forza positivo), mentre nel secondo sistema, come già detto, i valori, positivi, della radice di f(x) saranno sempre maggiori dei valori, negativi, di g(x); la terza disequazione è quindi superflua.
 
<math>\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} <=\leq 0 \\ f_{(x)} >=\geq 0 \end{matrix}\right.</math>
Eliminando le disequazioni non necessarie si ottiene:<br>
<math>\left\{\begin{matrix} g_{(x)} > 0 \\ f_{(x)} > g_{(x)}^2 \end{matrix}\right. \quad \cup \quad \left\{\begin{matrix} g_{(x)} <= 0 \\ f_{(x)} >= 0 \end{matrix}\right.</math>
 
In questo modo è possibile risolvere algebricamente ogni disequazione irrazionale.
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{{Avanzamento|75%|9 settembre 2008}}