Aritmetica modulare/Esercizi: differenze tra le versioni
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#13
#3
}}
== Capitolo 3 ==
*Risolvere:
*#<math>2x\equiv 3\mod 5</math>
*#<math>3x\equiv 7\mod 8</math>
*#<math>6x\equiv 8\mod 9</math>
*#<math>21x\equiv 7\mod 28</math>
*#<math>8x\equiv 7\mod 9</math>
*#<math>91x\equiv 991\mod 3</math>
{{cassetto|Soluzione|
#4
#5
#insolubile
#3 mod 4 (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 mod 28)
#2
#1
}}
*Risolvere:
*#<math>\begin{cases} x\equiv 7\mod 9\\ x\equiv 3\mod 5\end{cases}</math>
*#<math>\begin{cases} x\equiv 2\mod 3\\ x\equiv 3\mod 4 \\ x\equiv 4\mod 5\\ x\equiv 5\mod 6\end{cases}</math>
{{cassetto|Soluzione|
#43 mod 45
#59 mod 60
}}
*Risolvere:
*#<math>x^4+3x^2+7x+3\mod 21</math>
{{cassetto|Soluzione|
#6, 8, 15, 20
}}
*Determinare tutti gli ''x'' tali che <math>\phi(x)</math> è dispari.
{{cassetto|Soluzione|
#1 e 2
}}
== Capitolo 4 ==
*Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza
:<math>x^2+y^2\equiv -1\mod p</math>
ha soluzione per ogni primo ''p''.
{{cassetto|Soluzione proposta|
Moltiplichiamo tutto per <math>z^2</math>, ottenendo la congruenza <math>X^2+Y^2+z^2\equiv 0\mod p</math>. Questa ha una soluzione in cui non tutte le incognite sono pari a zero, e quindi per simmetria una in cui ''z'' è diversa da 0. Sia <math>(X_0,Y_0,z_0)</math> questa soluzione. Allora
:<math>(X_0z^{-1},Y_0z^{-1})</math>
è una soluzione della congruenza originaria.
}}
*Trovare tutte le soluzioni della congruenza
:<math>x^2+2y^2-z^2\equiv 0\mod 3</math>
{{cassetto|Soluzione|
(0,0,0), (1,0,1), (1,0,2), (1,1,0), (1,2,0), (2,0,1), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,0)
}}
[[categoria:Aritmetica modulare|Esericizi]]
{{avanzamento|50%|8 settembre 2008}}
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