Aritmetica modulare/Alcune applicazioni: differenze tra le versioni
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:<math>x^2+y^2<p+p=2p</math>
Di conseguenza si deve avere ''k''=1, cioè <math>x^2+y^2=p</math>.
== Un problema additivo ==
Abbiamo visto che in <math>\mathbb{Z}_p</math> vi sono <math>\frac{p-1}{2}</math> residui quadratici. È possibile chiedersi se ogni altro non residuo può essere scritto come somma di due residui. La risposta è positiva, e la dimostrazione è sorprendentemente semplice.
Naturalmente dobbiamo escludere 0 dal teorema, oppure considerarlo come la somma di ''zero'' residui quadratici, in quanto non sempre la congruenza <ath>x^2+y^2\equiv 0\mod p</math> ha soluzioni diverse da (0,0).
Sia ''a'' un non residuo. Poiché ''ax'' non è congruo a ''ay'' se ''x'' non è congruo a ''y'', gli elementi <math>ax_1,~ax_2,\ldots,ax_k</math> (dove gli <math>x_i</math> sono tutti i residui) sono tutti diversi e sono tutti non residui. Inoltre, se <math>a\equiv x^2+y^2</math>, allora
:<math>az^2\equiv (xz)^2+(yz)^2</math>
e quindi se un non residuo è somma di due residui lo sono anche tutti gli altri.
A questo punto, basta osservare che esiste almeno un residuo ''x'' tale che ''x''+1 non è un residuo, perché altrimenti tutti gli elementi sarebbero dei residui quadratici, e quindi tutti i non residui sono somma di due residui.
Argomenti del genere possono essere estesi anche a residui di ordine superiore, sebbene con considerazioni molto più lunghe: il maggior ostacolo è il fatto che, moltiplicando un ''a'' per i residui ''n''-esimi, si ottengono soltanto <math>\frac{p-1}{n}</math> altri elementi, e quindi non tutti sono ottenuti in questo modo; diventa quindi necessario introdurre una relazione di equivalenza che tenda conto di questo fatto, e dimostrare che gli elementi di ogni classe sono somma di un certo numero di residui ''n''-esimi.
[[categoria:Aritmetica modulare|Alcune applicazioni]]
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