Differenze tra le versioni di "Aritmetica modulare/Congruenze quadratiche"

+caso a=2
(cambio avanzamento a 100%)
(+caso a=2)
:<math>\left(2k+2-\frac{1}{2}\frac{r}{a},4k+4-\frac{r}{a}\right),~\left(6k+6-\frac{3}{2}\frac{r}{a},8k+8-\frac{2r}{a}\right),\ldots,\left(\left(2kb+4(2b-1)-\frac{(2b-1)r}{a}\right),4kb+4b-\frac{b(4a-r)}{a}\right)</math>
che, come numero di interi, coincide col numero precedente.
 
=== Il caso ''a''=2 ===
Consideriamo in particolare il caso ''a''=2. Questo può essere trattato con lo stesso metodo visto precedentemente: sia ''p''=8''k''+''r'' un primo; i numeri 2, 4, 6, ... , 2''P'' sono tutti minori di ''p'', e quindi per il lemma di Gauss la caratteristica quadratica di 2 corrisponde a (-1)<sup>''n''</sup>, dove ''n'' è la parità del numero di quegli elementi maggiori di ''p''/2. Sia ''x'' un numero minore di ''P''.
:<math>\frac{1}{2}p<2x<p</math>
equivale a
:<math>2k+\frac{1}{4}r<x<4k+\frac{1}{2}r</math>
e ignorando 2''k'' e 4''k'', che non variano la parità, si ottengono, come soluzioni di ''x'' in interi:
*0 soluzioni se ''r''=1;
*1 soluzione se ''r''=3 o ''r''=5;
*2 soluzioni si ''r''=7
e quindi 2 è residuo quadratico se <math>p=8k\pm 1</math> e non lo è altrimenti.
 
Naturalmente si poteva anche applicare il teorema generale dimostrato precedentemente, trovando un primo congruo a 1 modulo 8 e uno congruo a 3, e dedurne il comportamento per ogni ''p''.
 
== La legge di reciprocità ==
:<math>\left(\frac{7}{719}\right)=-\left(\frac{719}{7}\right)=-\left(\frac{5}{7}\right)=(-1)(-1)=1</math>
:<math>\left(\frac{91}{719}\right)=-\left(\frac{719}{91}\right)=-\left(\frac{82}{91}\right)=-\left(\frac{2}{91}\right)\left(\frac{41}{91}\right)=(-1)\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{91}{41}\right)=(-1)(-1)\left(\frac{9}{41}\right)=1</math>
(considerando che <math>391\equiv 913\mod 8</math>)
e infine
<math>\left(\frac{637}{719}\right)=1\cdot 1=1</math>
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