Algebra lineare e geometria analitica/Spazi vettoriali: differenze tra le versioni

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All'inizio del 1800 serpeggiava nel mondo matematico una certa "scontentezza" riguardo al sistema analitico introdotto da Cartesio. Molti matematici cercavano una via prinicpalmente geometrica, e in particolare libera dal concetto di coordinata, per studiare le forme. In particolare cominciavano a nascere i germi del concetto di '''vettore'''. In seguito saremo più dettagliati e precisi riguardo questo concetto, ma in questa sezione, renderemo conto dell'innovazione che questo nuovo concetto ha portato nel mondo geometrico, nonchè in quello matematico e fisico.
 
Se si pensa ad un triangolo "reale", formato da tre sbarre incernierate tra loro, e ai cui vertici siano attaccati dei pesi, si può capire come lo spazio cartesiano offra delle difficoltà nella modelizzazionemodellizzazione di questo semplice sistema. Infatti dovremmo poter associare a ogni singolo punto di vertice, anche una quantità numerica, ovvero la misura del peso. In secondo luogo il sistema che descriveremo sarebbe, a priori, legato alle coordinate che scieglieremo di assegnare ai vertici, mentre è ovvio come lo stesso sistema traslato possieda le stesse identiche caratteristiche di quello di partenza.
 
Da queste e altre considerazioni, fatte da eminenti scienziati del calibro di ''Bolzano'', ''Mœbius'', ''Hamilton'',''Cayley'', fino ad arrivare a ''Grassman'' e ''Peano'', portarono alla formalizzazione del concetto di spazio vettoriale come lo intendiamo oggi, nonchè alla base dell'algebra matriciale. Tutte queste innovazioni permettono uno studio accurato e preciso, ma anche immediato e "naturale" di molte forme geometriche, come vedremo in seguito.