Algebra lineare e geometria analitica/Operazioni tra matrici

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Sulle matrici si definiscono in maniera naturale tre operazioni, che andremo adesso ad analizzare in dettaglio.

Somma

Definizione

Date $A,B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ si definisce $A+B\in M(m,n,\mathbb {R} )$ nel seguente modo:

$(A+B)_{i,j}:=(A)_{i,j}+(B)_{i,j}\ \quad \forall \,i,j$

La definizione è molto naturale e non è nient'altro che la somma fatta componente per componente. Vediamone alcuni esempi.

Esempi

${\begin{pmatrix}5&1\\4&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&6\\1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&7\\5&2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}a'&b'&c'\\d'&e'&f'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+a'&b+b'&c+c'\\d+d'&e+e'&f+f'\end{pmatrix}}$

Da questi esempi e dalla definizione si deduce che la somma di matrici è una funzione

$+:\ M(m,n,\mathbb {R} )\times M(m,n,\mathbb {R} )\to M(m,n,\mathbb {R} )$

$(A,B)\mapsto A+B$

Si osservi inoltre che la somma è definita soltanto per matrici con lo stesso numero di righe e di colonne. Non è definita invece per matrici con rige diverse o colonne diverse.

Prodotto per uno scalare

Prodotto righe per colonne