Differenze tra le versioni di "Algebra lineare e geometria analitica/Matrici"

cambio avanzamento a 100%
m (cambio avanzamento a 50%)
(cambio avanzamento a 100%)
con <math>a_{i,j} \in \mathbb{R}</math> per <math>1\leq i \leq m</math> e <math>1 \leq j \leq n</math>.
</div>
 
===Righe e Colonne===
 
Data una matrice <math>m\times n</math> <math>A</math> possiamo definire:
\quad
A^n:=\begin{pmatrix} a_{1,n} \\ a_{2,n} \\ \vdots \\ a_{m,n} \end{pmatrix}
</math>
</div>
 
===Rappresentazione e componenti===
 
Possiamo rappresentare la matrice <math>A</math> mettendo in evidenza le sue righe o le sue colonne, ovvero possiamo scrivere
 
<div style="text-align: center">
<math>
A=: \begin{pmatrix} A^1 &A^2 &\dots &A^n \end{pmatrix} =: \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ \vdots \\ A_m \end{pmatrix}
</math>
</div>
 
Per indicare <math>A</math> useremo anche la notazione
 
<div style="text-align: center">
<math>
A=: (a_{i,j})_\stackrel{1\leq i\leq m}{1\leq j \leq n} =: (a_{i,j})
</math>
</div>
 
Infine per indicare la componente <math>i,j</math>-esima di <math>A</math> useremo la notazione <math>(A)_{i,j}=:a_{i,j}</math>. Osserviamo che due matrici si diranno uguali se coincidono in tutte le loro componenti.
 
 
===Esempio===
 
Sia
<div style="text-align: center">
<math>
A=: \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 0 \\ 4 & \sqrt{3} \end{pmatrix}
</math>
</div>
 
Allora <math>A</math> è una matrice <math>3 \times 2</math> e le sue righe e colonne sono
 
<div style="text-align: center">
<math>
A_1 = \begin{pmatrix} 2 & -3 \end{pmatrix} \qquad A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad A_3 = \begin{pmatrix} 4 & \sqrt{3} \end{pmatrix}
</math>
 
<math>
A^1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad A^2 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}
</math>
</div>
 
Le componenti di <math>A</math> sono:
 
<div style="text-align: center">
<math>
(A)_{1,1}=2 \quad (A)_{1,2}=-3 \quad (A)_{2,1}=1 \quad (A)_{2,2}=0 \quad (A)_{3,1}=4 \quad (A)_{3,2}=\sqrt{3}
</math>
</div>
 
Quindi <math>A</math> può essere scritta come:
 
<div style="text-align: center">
<math>
A= \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^1 & A_2 \end{pmatrix}
</math>
</div>
 
===Insiemi di Matrici===
 
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Dati <math>m,n \in \mathbb{N}</math> con <math>m,n \geq 1</math> indicheremo con '''<math>M(m,n,\mathbb{R})</math>''' l'insieme di tutte le matrici <math>m\times n</math> a coefficienti in <math>\mathbb{R}</math>, e con <math>M(n,\mathbb{R}</math> tutte le matrici <math>n \times n</math> a coefficienti in <math>\mathbb{R}</math>, ovvero:
 
<div style="text-align: center">
<math>
M(m,n,\mathbb{R}) := \{ A : A \text{ e‘ una matrice } m \times n \text{ a coefficienti in } \mathbb{R} \}
</math>
 
<math>
M(n,\mathbb{R}) := M(n,n,\mathbb{R})
</math>
</div>
 
Chiameremo le matrici di <math>M(n,\mathbb{R})</math> '''matrici quadrate'''.
 
</div>
 
 
Ad esempio, per definizione di matrice associata ad un sistema lineare, si ha che, se <math>\mathcal{L}</math> è un sistema lineare con<math>m</math> equazioni e <math>n</math> incognite, allora <math>M(\mathcal{L}) \in M(m,n+1,\mathbb{R})</math>.
 
Praticamente di consideri il seguenti sistema:
 
<div style="text-align: center">
<math>
\mathcal{L}=\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ 3 x_2 = 7 \end{cases}
</math>
</div>
 
allora per definizione di matrice associata al sistema si ha che
 
<div style="text-align: center">
<math>
M(\mathcal{L}) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \end{pmatrix} \in M(2,3,\mathbb{R})
</math>
</div>
 
 
 
{{Avanzamento|50%|16 agosto 2008}}
{{Avanzamento|100%|20 agosto 2008}}
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