Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
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Preliminariamente osserviamo che tutti i termini noti del sistema sono nulli. Quando succede questo il sistema si dice '''omogeneo'''. È facile vedere come in ogni sistema omogeneo possiamo trovare immediatamente una soluzione, detta ''soluzione banale'', ponendo tutte le incognite uguali a zero.
Vogliamo ora discutere dell'esistenza di una soluzione, che sarà un vettore di <math>\mathbb{R}^2</math>. È ovvio come il vettore nullo sia banalmente una soluzione, essendo il nostro un sistema omogeneo. La domanda che ci poniamo è: esistono soluzioni non banali del nostro sistema?
Osserviamo come ogni singola equazione Line 95 ⟶ 97:
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Si è appena visto come se <math> e = f = 0 </math>, cioè se il sistema è omogeneo, la soluzione banale è soluzione del sistema. Inoltre sappiamo che o ne esistono infinte o non ne esiste nessuna. Se ne esistono infinte vuol dire che le due rette sono coincidenti. In particolare si avrà che <math> a = c </math> e <math> b = d</math>. Quindi possiamo riassumere che, nel caso i termini noti siano nulli si hanno infinte soluzioni se e solo se <math> a = c \wedge b=d </math>. Altrimenti c'è un'unica soluzione che è quella banale.
==L'importanza dei coefficienti==
Si è visto nel paragrafo precedente come sia possibile evidenziare le possibilità che si presentano nello studio
Il concetto non è dunque così complicato. Tuttavia per una trattazione omogenea e rigorosa è necessario prestare molta attenzione alle definizioni e al formalismo che sarà introdotto nella prossima sezione. Infatti ci si troverà di fronte ad oggetti prettamente astratti di cui, a priori, non si vede il significato reale. Tenendo presente l'esempio precedente sarà tuttavia più facile farsi un idea delle varie modalità e di nuovi enti che saranno presentati
[[Categoria:Geometria|Matrici]]
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