Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Definizione e esempi |
|||
Riga 11:
==
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Dati <math>m,n \in \mathbb{N}</math>, <math>m,n\geq 1</math> un '''sistema lineare''' <math>\mathcal{L}</math> a coefficienti in <math>\mathbb{R}</math>, con <math>m</math> equazioni e <math>n</math> incognite, è una collezione di <math>m</math> equazioni di primo grado del seguente tipo
<div style="text-align: center">
<math>\begin{cases}
&a_{1,1} x_1 + \dots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
&a_{2,1} x_1 + \dots + a_{2,n}x_n = b_2 \\
&\qquad \vdots \\
&a_{m,1} x_1 + \dots + a_{m,n}x_n = b_n
\end{cases}
</math>
</div>
dove <math>a_{i,j} \in \mathbb{R}</math> sono i ''coefficienti'' di <math>\mathcal{L}</math>, <math>b_i</math> sono i ''termini noti'' e <math>x_1,\dots,x_n</math> sono le ''incognite''
</div>
Dato un sistema lineare<math>\mathcal{L}</math> le sue soluzioni sono il sottoinsieme <math>Sol(\mathcal{L})</math> di <math>\mathbb{R}^n</math> formato da tutte le <math>n</math>-ple ordinate <math>(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n</math> che verificano ''tutte'' le <math>m</math> equazioni. Sinteticamente possiamo scrivere
<div style="text-align: center">
<math>
Sol(\mathcal{L}):=\{ (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j=b_i\ \ \forall j=1,\dots,m \}
\begin{cases} 3x+4y-2z+3t=23 \\ 4x+y=0 \\ 3z+3t=y-x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}▼
</math>
</div>
==Esempi==
Analizziamo per esempio il seguente sistema.
<div style="text-align: center">
Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.▼
<math>
▲\begin{cases} 3x+4y-2z+3t=23 \\ 4x+y=0 \\ 3z+3t=y-x \end{cases} \quad \quad
</math>
</div>
Esso è un sistema lineare con 3 equazioni e 4 incognite (ovvero <math>x,y,z,t</math>). In questo caso i coefficienti sono:
<div style="text-align: center">
<math> a_{1,1} = 3 \qquad a_{1,2} = 4 \qquad a_{1,3} = -2 \qquad a_{1,4} = 3 \qquad b_1=23 </math>
<math> a_{2,1} = 4 \qquad a_{2,2} = 1 \qquad a_{1,3} = 0 \qquad \ \ \, a_{2,4} = 0 \qquad b_2=0 </math>
<math> a_{3,1} = 1 \qquad a_{3,2} = -1 \qquad a_{3,3} = 3 \qquad a_{3,4} = 3 \qquad b_3=0 </math>
</div>
Si osservi come i coefficienti dell'ultima riga sono stati trovati dopo aver portato a primo membro tutte le incognite dell'equazione.
Vediamo ora un altro esempio
<div style="text-align: center">
<math>
\begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}
</math>
</div>
In questo caso il sistema ''non'' è un sistema lineare, infatti la seconda equazione non è lineare, essendo di secondo grado.
▲Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
==Esempio in dettaglio==
|