Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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Definizione e esempi
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==RichiamiDefinizioni==
 
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Dati <math>m,n \in \mathbb{N}</math>, <math>m,n\geq 1</math> un '''sistema lineare''' <math>\mathcal{L}</math> a coefficienti in <math>\mathbb{R}</math>, con <math>m</math> equazioni e <math>n</math> incognite, è una collezione di <math>m</math> equazioni di primo grado del seguente tipo
Un '''sistema lineare''' è un sistema di equazioni di primo grado a una o più incognite.
<div style="text-align: center">
Se le incognite del sistema sono <math>n</math> una '''soluzione''' sarà un "insieme" di <math>n</math> valori tali che, sostituiti alle incognite, diano luogo a tante uguagianze quante erano le equazioni
<math>\begin{cases}
&a_{1,1} x_1 + \dots + a_{1,n}x_n = b_1 \\
&a_{2,1} x_1 + \dots + a_{2,n}x_n = b_2 \\
&\qquad \vdots \\
&a_{m,1} x_1 + \dots + a_{m,n}x_n = b_n
\end{cases}
</math>
</div>
 
dove <math>a_{i,j} \in \mathbb{R}</math> sono i ''coefficienti'' di <math>\mathcal{L}</math>, <math>b_i</math> sono i ''termini noti'' e <math>x_1,\dots,x_n</math> sono le ''incognite''
Ad esempio, nei seguenti due casi, il primo è un sistema lineare mentre il secondo no perchè la seconda equazione ha un termine di grado due
 
</div>
 
Dato un sistema lineare<math>\mathcal{L}</math> le sue soluzioni sono il sottoinsieme <math>Sol(\mathcal{L})</math> di <math>\mathbb{R}^n</math> formato da tutte le <math>n</math>-ple ordinate <math>(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n</math> che verificano ''tutte'' le <math>m</math> equazioni. Sinteticamente possiamo scrivere
 
<div style="text-align: center">
<math>
Sol(\mathcal{L}):=\{ (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n \mid \sum_{j=1}^n a_{i,j} x_j=b_i\ \ \forall j=1,\dots,m \}
\begin{cases} 3x+4y-2z+3t=23 \\ 4x+y=0 \\ 3z+3t=y-x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}
</math>
</div>
 
==Esempi==
Nel primo caso una soluzione è data da <math>(9,-36,-37,22)</math>.
Analizziamo per esempio il seguente sistema.
I numeri reali che moltiplicano le incognite sono detti coefficienti, mentre quelli che compaiono "da soli" si dicono termini noti.
 
<div style="text-align: center">
Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
<math>
\begin{cases} 3x+4y-2z+3t=23 \\ 4x+y=0 \\ 3z+3t=y-x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}
</math>
</div>
 
Esso è un sistema lineare con 3 equazioni e 4 incognite (ovvero <math>x,y,z,t</math>). In questo caso i coefficienti sono:
<div style="text-align: center">
<math> a_{1,1} = 3 \qquad a_{1,2} = 4 \qquad a_{1,3} = -2 \qquad a_{1,4} = 3 \qquad b_1=23 </math>
 
<math> a_{2,1} = 4 \qquad a_{2,2} = 1 \qquad a_{1,3} = 0 \qquad \ \ \, a_{2,4} = 0 \qquad b_2=0 </math>
Si osservi soltanto che l'aggettivo ''lineare'' stà ad indicare che moltiplicare un'equazione per una costante non nulla, o sostituire un equazione con la somma di due equazioni non modifica le soluzioni del sistema lineare. Ovvero, ad esempio, le soluzioni dell'equazione <math>3x+2y=0</math> sono tutte e sole le coppie di numeri reali della forma <math>(k,-\frac{3}{2}k)</math> (infatti <math> 3k+2(-\frac{3}{2}k)=0 \ \forall k \in \mathbb{R} </math>). Se ora si moltiplica l'equzione per 3 si ottiene l'equazione <math>9x+6y=0</math> che ha le stesse soluzioni.
 
<math> a_{3,1} = 1 \qquad a_{3,2} = -1 \qquad a_{3,3} = 3 \qquad a_{3,4} = 3 \qquad b_3=0 </math>
</div>
 
Si osservi come i coefficienti dell'ultima riga sono stati trovati dopo aver portato a primo membro tutte le incognite dell'equazione.
 
Vediamo ora un altro esempio
 
<div style="text-align: center">
<math>
\begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}
</math>
</div>
 
In questo caso il sistema ''non'' è un sistema lineare, infatti la seconda equazione non è lineare, essendo di secondo grado.
 
 
Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
 
==Esempio in dettaglio==