Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni
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Verranno ora elencate tutte le convenzioni di notazione e i basilari concetti matematici fondamentali per tutta la trattazione successiva. Se il lettore si sente già padrone delle seguenti definizioni e notazioni può passare direttamente al paragrafo successivo.
==Operatori logici fondamentali==
==Insiemi e funzioni==▼
Date due proposizioni <math>p</math> e <math>q</math> (ovvero delle frasi di cui si possibile senza ambiguità decidere se esse sono vere e false; negli esempi seguenti per chiarirsi le idee si pensi a p come alla proposizione ''fuori piove'' e a q come la proposizione ''ieri pioveva'') sono definiti i seguenti simboli per gli operatori logici relazionali:
* Il simbolo <math>\wedge</math> indica ''e''; ad esempio la formula <math>p \wedge q</math> significa "''p e q ''";
* Il
* Il simbolo <math>\Rightarrow</math> indica ''se...allora...''; ad esempio la formula <math>p \Rightarrow q </math> significa "''Se p allora q ''";
*
Allo stesso modo possiamo definire i seguenti simboli per i quantificatori logici universali (si pensi ora a ''p(x)'' come alla proposizione ''x è un numero primo''):
*Il simbolo <math>\forall</math> indica ''per ogni''; ad esempio la formula <math> \forall x\ p(x)</math> significa "''per ogni x, p(x) ''";
*Il simbolo <math>\exists</math> indica ''esiste''; ad esempio la formula <math> \exists x\ p(x)</math> significa "''esiste x, p(x) ''";
Con questi simboli è possibile formalizzare qualsiasi affermazione di tipo logico su due proposizioni generiche. Noi utilizzeremo questo linguaggio applicato ad enti matematici ben definiti. Vediamo alcune altre notazioni di base.
A volte con " : " o con " | " staremo ad indicare ''tale che'' (anche se spesso sarà chiaro dal contesto), con " ! " indicheremo ''unico'' mentre con " A:=B " indicheremo il fatto che A è difinito a partire da B.
La parola '''insieme''' va intesa nel significato intuitivo di collezione di oggetti chiamati i suoi ''elementi''.
In generale gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole, gli elementi con lettere minuscole.
*<math>\in</math> indica ''appartiene'';
*<math>\notin</math> indica ''non appartiene'';
Se <math>x</math> è un oggetto ed <math>A</math> un insieme scriveremo <math>x \in A</math> per indicare che x è un oggetto dell'insieme A, e <math>x \notin A</math> per indicare che x non è un oggetto di A.
Quando un insieme sarà rappresentato dai suoi elementi scriveremo tale insieme come l'elenco di tali elementi contenuti tra parentesi graffe: ad esempio l'insieme i cui elementi sono <math>a,b,c,\dots</math> si indicherà con <math>\{ a, b, c \dots \}</math>.
*Se <math>A,B</math> sono due insiemi, la notazione <math>A \subseteq B</math>, oppure <math>B \supseteq A</math>, significa che ogni elemento che appartiene ad <math>A</math> appartiene a <math>B</math>. In questo caso diremo che <math>A</math> è un ''sottoinsieme'' di <math>B</math>. Avremmo allora che <math>A</math> è sottoinsieme di <math>B</math> se e soltanto se vale la seguente proprietà (scritta utilizzando le notazioni precedenti)
<div style="text-align: center">
<math>\forall x,\ x \in A \Rightarrow x \in B</math>
</div>
*Se <math>A,B</math> sono due insiemi, la notazione <math>A \nsubseteq B</math>, oppure <math>B \nsupseteq A</math>, significa che è falso che <math>A \subseteq B</math>, ovvero che
<div style="text-align: center">
<math> \exists x,\ x \in A : x \notin B </math>
</div>
*Sa <math>A,B</math> sono due insiemi, la notazione <math> A = B </math> significa che valgono <math> A \subseteq B</math> e <math> B \subseteq A </math>, cioè
<div style="text-align: center">
<math> \forall x,\ x \in A \iff x \in B </math>
</div>
*Se <math>A</math> è un insieme e <math>p</math> un enunciato che è vero o falso per gli elementi di <math>A</math>, indicheremo con <math> \{ x \in A : p(x) \}</math> il sottoinsieme di <math>A</math> formato dalgi oggetti di <math>A</math> per cui è vero l'enunciato <math>p</math>.
*Se <math>A,B</math> sono due insiemi, indicheremo con <math>A \cap B</math> l'insieme formato da tutti gli elementi che stanno sia in <math>A</math> che in <math>B</math> e lo chiameremo la loro ''intersezione '':
<div style="text-align: center">
<math> A \cap B := \{x : x \in A \wedge x \in B \} </math>
</div>
*Se <math>A,B</math> sono due insiemi, indicheremo con <math>A \cup B</math> l'insieme formato da tutti gli elementi che stanno in <math>A</math> oppure in <math>B</math> e lo chiameremo la loro ''unione '':
<div style="text-align: center">
<math> A \cup B := \{x : x \in A \vee x \in B \}</math>
</div>
*Indicheremo con <math>\emptyset</math> l'insieme che non contiene nessun elemento.
*Se <math>A</math> è un insieme e <math>B \subseteq A</math> indicheremo <math>B^C</math> o equivalentemente con <math> A \setminus B</math> l'insieme degli elementi di <math>A</math> che non appartengono a <math>B</math> e lo chiameremo il ''complementare'' di <math> B </math> in <math> A </math>.
<div style="text-align: center">
<math> B^C = A \setminus B := \{x : x \in A \wedge x \notin B \} </math>
</div>
==Funzioni==
* Se <math>A,B</math> sono due insiemi, una '''funzione''' da <math>A</math> in <math>B</math> è una legge che associa ad ogni elemento <math>x \in A</math> uno ed un solo elemento di <math>B</math> che indicheremo con <math>f(x)</math>. Indicheremo con <math>f: A \to B</math> la funzione e chiameremo <math>A</math> il ''dominio'' e <math>B</math> il ''codomino'' di <math>f</math>.
* Se <math>x \in A</math> e <math> y \in B</math> la notazione <math>x \mapsto y</math> sottointenderà che <math>f(x)=y</math>, cioè <math>y</math> è l'unico elemento di <math>B</math> a cui è associato <math>x</math> tramite <math>f</math> ( si dirà che <math>y</math> è l'''immagine'' di <math>x</math> tramite <math>f</math>).
* Date due funzioni <math>f:A \to B</math> e <math>g:A \to B</math> porremo
<div style="text-align: center">
<math> f = g \iff f(x)=g(x)\ \forall x \in A</math>
</div>
Data una funzione <math>f:A\to B</math> diremo che <math>f</math> è:
**''iniettiva'' se <math> \forall x,y \in A,\ x \neq y \Rightarrow f(x)\neq f(y)</math>;
**''suriettiva'' se <math> \forall y \in B,\ \exists x \in A : f(x)=y</math>;
**''biettiva'' se è sia iniettiva che suriettiva.
==Strutture algebriche fondamentali==
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Vediamo alcuni esempi: l'insieme <math> \mathopen{[}0,2\mathclose{[}</math> ammette un estremo superiore che è 2. In questo caso l'estremo superiore non appartiene all'insieme, ma può accadere che invece vi appartenga, come nel caso dell'insieme <math>\mathopen{[}2\pi,4\mathclose{]}</math> in cui l'estremo superiore è appunto 4. L'estremo superiore può anche essere infinito, come nel caso di <math>\{x \in \mathbb{R} \mid x>1\}</math>.
Il passo succesivo è valutare se esistono sottoinsiemi dei reali che non ammettono estremo superiore. Questo non accade mai, ed è un risultato fondamentale dell'analisi che va sotto il nome di [[w:Assimoa di Dedekind|'''assioma di Dedekind''']].
C'è dunque un sottoinsieme dei razionali che non ammette estremo superiore, e questo distingue in maniera netta i numeri reali dalle frazioni. Se infatti si considera l'insieme <math>S=\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2\leq 2 \} </math>, esso non possiede estremo superiore nei razionali, mentre lo possiede nei reali, ed è <math>\sqrt{2}</math> che ovviamente non appartiene ai razionali.
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[[Categoria:Geometria|Concetti di base e notazioni]]
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