Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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Esempio e coefficienti |
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Nel primo caso una soluzione è data da <math>(9,-36,-37,22)</math>.
I numeri reali che moltiplicano le incognite sono detti coefficienti, mentre quelli che compaiono "da soli" si dicono termini noti.
Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
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==Esempio in dettaglio==
Analizziamo ora in dettaglio un esempio pratico di sistema lineare a due equazioni in due incognite con termini noti nulli. Possiamo in generale rappresentarlo in questo modo
<center>
<math>
\begin{cases} ax + by = 0 \\ cx + dy = 0 \end{cases}
</math>
</center>
Vogliamo discutere principalmente dell'esistenza di una soluzione, che sarà un vettore di <math>\mathbb{R}^2</math>. È ovvio come il vettore nullo sia banalmente una soluzione, non essendoci termini noti. Chiameremo inquesto caso la soluzione nulla come la '''soluzione banale'''. La domanda che ci poniamo è: esistono soluzioni non banali del nostro sistema.
Osserviamo come ogni singola equazione rappresenti una retta nel piano reale (definizione di retta in geometria analitica). Una soluzione, come noto, non è nient'altro che un punto di intersezione delle due rette. Ma per quanto appena detto sappiamo che esiste la soluzione banale, che è dunque un punto di entrambe le rette. In altri termini antrambe le rette passano per l'origine. Allora, se esistesse un altro punto di intersezione, poichè per due punti passa un'unica retta, avrei che le due rette sarebbero coincidenti.
Abbiamo quindi mostrato che sei tutti i termini noti sono nulli, e il numero di incognite e uguale al numero di equazioni, esiste sempre una soluzione che è quella banale. Se ne esiste un'altra allora ne esistono infinite, precisamente tutti i punti della retta.
Possiamo esprimere tutti questi concetti usando i dati numerici del nostro sistema? Sappiamo che un generico sistema lineare a due incognite con due equazioni è della forma
<center>
<math>
\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = e \end{cases}
</math>
</center>
Si è appena visto come se <math> e = f = 0 </math> la soluzione banale è soluzione del sistema. Inoltre sappiamo che o ne esistono infinte o non ne esiste nessuna. Se ne esistono infinte vuol dire che le due rette sono coincidenti. In particolare si avrà che <math> a = c </math> e <math> b = d</math>. Quindi possiamo riassumere che, nel caso i termini noti siano nulli si hanno infinte soluzioni se e solo se <math> a = c \wedge b=d </math> (dove <math>\wedge</math> significa "e"). Altrimenti c'è un'unica soluzione che è quella banale.
==L'importanza dei coefficienti==
Si è visto nel paragrafo precedente come sia possibile evidenziare le possibilità che si presentano nello studio diunsistema lineare esclusivamente attraverso numeri che vi compaiono. Questa idea sta alla base del concetto di matrice. L'idea è che se la cosa importante in fondo sono i coefficienti e i termini noti io riesca a isolare la parte dei coefficienti da quella delle incognite e studiare solo i primi.
Il concetto non è dunque così complicato. Tuttavia per una trattazione omogenea e rigorosa è necessario prestare molta attenzione alle definizioni e al formalismo che sarà introdotto nella prossima sezione. Infatti ci si troverà di fronte ad oggetti prettamente astratti di cui, a priori, non si vede il significato reale. Tenendo presente l'esempio precedente sarà tuttavia più facile farsi un idea delle varie modalità e di nuovi enti che saranno presentati
[[Categoria:Geometria|Matrici]]
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