Algebra lineare e geometria analitica/Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Un '''sistema lineare''' è un sistema di equazioni di primo grado a una o più incognite.
Se le incognite del sistema sono <math>n</math> una '''soluzione''' sarà un "insieme" di <math>n</math> valori tali che, sostituiti alle incognite, diano luogo a tante uguagianze quante erano le equazioni
</div>
Ad esempio, nei seguenti due casi, il primo è un sistema lineare mentre il secondo no perchè la seconda equazione ha un termine di grado due
<div style="text-align: center">
<math>
\begin{cases} 3x+4y-2z+3t=23 \\ 4x+y=0 \\ 3z+3t=y-x \end{cases} \quad \quad \begin{cases} 4x+y=-35 \\ y^2-1=\frac{2}{3} \end{cases}
</math>
</div>
Nel primo caso una soluzione è data da <math>(9,-36,-37,22)</math>.
Esistono vari modi per risolvere i sistemi lineari. È possibile ad esempio esplicitare una variabile da un'equazione e sostituire ciò che si è trovato nelle altre, e riapplicare il procedimento fino ad ottenere un'equazione in un incognita risolvibile classicamente; oppure si può "ridurre" più equazioni ad un'unica eliminando appropriatamente alcune varibili. Nella trattazione successiva non ci fermeremo a richiamare questi metodi, ma analizzeremo un caso particolare per poi astrarre il procedimento ed arrivare alla definizione di matrice.
Si osservi soltanto che l'aggettivo ''lineare'' stà ad indicare che moltiplicare un'equazione per una costante non nulla, o sostituire un equazione con la somma di due equazioni non modifica le soluzioni del sistema lineare. Ovvero, ad esempio, le soluzioni dell'equazione <math>3x+2y=0</math> sono tutte e sole le coppie di numeri reali della forma <math>(k,-\frac{3}{2}k)</math> (infatti <math> 3k+2(-\frac{3}{2}k)=0 \ \forall k \in \mathbb{R} </math>). Se ora si moltiplica l'equzione per 3 si ottiene l'equazione <math>9x+6y=0</math> che ha le stesse soluzioni.
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[[Categoria:Geometria|Matrici]]
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