Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni
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===Completezza e assioma di Dedekind===
L'idea di base è estendere la proprietà precedente anche agli insiemi, introducento il concetto di estremo superiore. Diremo estremo superiore (o "sup") di un sottoinsieme dei numeri reali il più piccolo degli elementi che sono maggiori di tutti gli elementi dell'insieme. Formalmente vale la seguente
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">'''Definizione'''
Dato <math>\emptyset \neq A \subset \mathbb{R}</math>, si definisce '''estremo superiore''' di <math>A</math> il numero
<center>
<math>
\sup A := min \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\ \ \forall a \in A \}
</math>
</center>
</div>
Dalla definizione segue immediatamente una caratterizzione fondamentale del sup, ovvero
<center>
<math>
x=\sup A \ \Rightarrow \ \forall y: \ y \geq a \forall a \in A \ x \leq y
</math
<center>
ovvero se esiste un altro elemento maggiore di tutti quelli di <math>A</math> allora dev'essere anche maggiore del sup.
Vediamo alcuni esempi: l'insieme <math> \mathopen{[}0,2\mathclose{[}</math> ammette un estremo superiore che è 2. In questo caso l'estremo superiore non appartiene all'insieme, ma può accadere che invece vi appartenga, come nel caso dell'insieme <math>\mathopen{[}2\pi,4\mathclose{]}</math> in cui l'estremo superiore è appunto 4. L'estremo superiore può anche essere infinito, come nel caso di <math>\{x \in \mathbb{R} \mid x>1\}</math>.
Il passo succesivo è valutare se esistono sottoinsiemi dei reali che non ammettono estremo superiore. Questo non accade mai, ed è un risultato fondamentale dell'analisi che va sotto il nome di [[w:Assimoa di Dedekind|'''assioma di Dedekind''']]. Queto fatto è talmente caratteristico dei numeri reali che nessun altro insieme numerico nominato fin qui ha qeusta caratteristica, in particolare i razionali.
C'è dunque un sottoinsieme dei razionali che non ammette estremo superiore, e questo distingue in maniera netta i numeri reali dalle frazioni. Se infatti si considera l'insieme <math>S=\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2\leq 2 \} </math>, esso non possiede estremo superiore nei razionali, mentre lo possiede nei reali, ed è <math>\sqrt{2}</math> che ovviamente non appartiene ai razionali.
Possiamo dunque concludere che i reali sono un campo ordinato in cui vale l'assioma di Dedekind, e questo caratterizza completamente questo insieme.
Ora che abbiamo chiarito i concetti di base, possiamo cominciare a percorrerre il percorso che ci porterà alla definizione degli spazi vettoriali.
[[Categoria:Geometria|Concetti di base e notazioni]]
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