Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni

In effetti si potrebbe chiedere meno delle proprietà di campo, e accontentarsi di quelle di [[w:corpo_(matematica)|'''corpo''']]. In questo libro si farà riferimento sempre a strutture definite su campi, ma si potrebbe trattare la stessa teoria su concetti più deboli, come appunto quello di corpo, o di [[w:anello_(matematica)|'''anello''']] ottenendo così, al posto di spazi vettoriali, ambienti più generali come quelli di [[w:modulo_(matematica)|'''modulo''']]. Tuttavia tale trattazione richiederebbe notevoli prerequisiti di algebra commutativa che non sono trattati in queste pagine.

 

Fin qui sono state presentate strutture via via più ricche, ma di fondo sostanzialmente astratte, cioè tali che non descrivevano completamente insiemi numerici nel senso in cui generalmente vengono intesi. In effetti gruppi e campi sono importanti proprio per questo, perché sono concetti molto flessibili che si possono associare a diverse situazioni. Tuttavia, per quello che concerne l'obiettivo di questo libro, avremo a che fare principalmente con spazi che hanno come basi i '''numeri reali''' (o '''complessi''') e dunque vogliamo approfondire, prima di proseguire con la trattazione, lo studio di questi insiemi.

 

Non approfondiremo qui il concetto di relazione d'ordine, in quanto si suppone che ogni lettore abbia una certa familiarità con le disuguaglianze. Vogliamo solo far notare che questa ulteriore struttura è comune a tutti gli insiemi numerici, infatti anche sui naturali, sugli interi, sui razionali e ovviamente sui reali è definita tale relazione. Che cosa dunque caratterizza in maniera specifica i numeri reali?

 

Una prima osservazione, che distingue i numeri reali da quelli interi o naturali è il concetto di "densità". In modo informale potremmo affermare che ''<math>\mathbb{R}</math> non ha buchi''. Chiariamo questo concetto. Negli interi (come nei naturali) esistono coppie di numeri, di cui uno è maggiore dell'altro, ma non esiste nessun altro elemento dell'insieme compreso tra di essi. Si pensi ad esempio a <math>2,3</math>: è noto che <math>2 \leq 3 </math> ma non esiste nessun altro intero <math> n </math> tale che <math> 2 \leq n \leq 3</math> che non sia uguale a due o a tre. Tale proprietà è invece soddisfatta per i reali, basti pensare a <math>\frac{5}{2}</math>.